Determine a derivada de cada função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada. Informações fornecidas:
- A função é
. - O que se pede: calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Decidir o método: a função é um produto de duas funções de
, uma parte polinomial
e a parte trigonométrica
. Para derivar um produto usamos a regra do produto. A regra do produto diz o seguinte:
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
e
é a derivada de
. Isto significa: “a derivada do produto é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo”.
Passo 3
Identificar as duas funções do produto. Seja
Vamos encontrar
e
separadamente.
Passo 4
Derivada de
. Aplicamos a regra da potência: para
com
real (aqui
), tem-se
No nosso caso:
Explicação rápida da regra da potência: ela vem do limite que define derivada e diz que se você multiplica a potência por seu expoente e diminui o expoente em
, obtém a derivada.
Passo 5
Derivada de
. É uma derivada padrão de trigonometria:
Isto é, a derivada da função seno é o cosseno. (Intuitivamente, é o comportamento instantâneo da senoide; formalmente obtém‑se a partir do limite do quociente incremental.)
Passo 6
Aplicar a regra do produto com os resultados de
e
. Pela regra do produto:
Substituindo
,
,
e
:
Podemos também fatorar um
se quisermos uma forma alternativa útil na prova: