Determine a derivada de cada função:
f(x)=x^{4} \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede sua derivada. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{4}\operatorname{sen}(x).
  • O que se pede: calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Decidir o método: a função é um produto de duas funções de x, uma parte polinomial x^{4} e a parte trigonométrica \operatorname{sen}(x). Para derivar um produto usamos a regra do produto. A regra do produto diz o seguinte:
(u\cdot v)' = u'\cdot v + u\cdot v'
onde u e v são funções de x, u' é a derivada de u e v' é a derivada de v. Isto significa: “a derivada do produto é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo”.

Passo 3

Identificar as duas funções do produto. Seja
u(x)=x^{4},\qquad v(x)=\operatorname{sen}(x).
Vamos encontrar u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 4

Derivada de u(x)=x^{4}. Aplicamos a regra da potência: para u(x)=x^{n} com n real (aqui n=4), tem-se
u'(x)=n x^{n-1}.
No nosso caso:
u'(x)=4x^{3}.
Explicação rápida da regra da potência: ela vem do limite que define derivada e diz que se você multiplica a potência por seu expoente e diminui o expoente em 1, obtém a derivada.

Passo 5

Derivada de v(x)=\operatorname{sen}(x). É uma derivada padrão de trigonometria:
v'(x)=\cos(x).
Isto é, a derivada da função seno é o cosseno. (Intuitivamente, é o comportamento instantâneo da senoide; formalmente obtém‑se a partir do limite do quociente incremental.)

Passo 6

Aplicar a regra do produto com os resultados de u' e v'. Pela regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u(x)=x^{4}, u'(x)=4x^{3}, v(x)=\operatorname{sen}(x) e v'(x)=\cos(x):
f'(x)=4x^{3}\operatorname{sen}(x)+x^{4}\cos(x).
Podemos também fatorar um x^{3} se quisermos uma forma alternativa útil na prova:
f'(x)=x^{3}\bigl(4\operatorname{sen}(x)+x\cos(x)\bigr).

Resposta

f'(x)=4x^{3}\operatorname{sen}(x)+x^{4}\cos(x)

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