Determine a derivada de cada função:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é a soma de dois termos:
e . - Há uma restrição óbvia no domínio:
(porque aparece no denominador). - A tarefa é calcular
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (de forma bem didática):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra do fator constante: se
é constante e função, . - Regra da potência (power rule): para qualquer número real
, a derivada de é
Aqui
é a variável independente e
é o expoente; a regra diz que a derivada “puxa” o expoente para frente e diminui o expoente em 1.
Vou aplicar essas regras ao nosso
. Antes, é conveniente reescrever a fração como potência para aplicar diretamente a regra da potência.
Passo 3
Reescrever o segundo termo para ficar na forma de potência:
Isso é só álgebra simples: dividir por
equivale a multiplicar por
. Agora a função fica
Passo 4
Derivada do primeiro termo
:
- Uso a regra do fator constante e a regra da potência.
- A derivada de
é . - Então
Passo 5
Derivada do segundo termo
:
- Novamente fator constante e potência.
- A derivada de
é pela regra da potência. - Então
Explicando a conta:
.
Passo 6
Somando as derivadas dos dois termos (regra da soma):
Reescrevendo o segundo termo com potência negativa para forma com denominador:
Se quiser combinar em uma única fração (não é obrigatório), coloca-se denominador comum
:
Passo 7
Comentário rápido e motivador: na prova, sempre que houver potências no denominador, convém reescrever como potências com expoente negativo e aplicar a regra da potência. Assim evita-se confusão com quocientes. Você já fez o essencial: fatorar constantes, aplicar a regra da potência e somar os resultados. Vai dar certo!