Determine a derivada de cada função:
f(x)=12 x^{2}+\frac{3}{2 x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
f(x)=12x^{2}+\frac{3}{2x^{3}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é a soma de dois termos: 12x^{2} e \dfrac{3}{2x^{3}}.
  • Há uma restrição óbvia no domínio: x\neq 0 (porque aparece x^{3} no denominador).
  • A tarefa é calcular f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (de forma bem didática):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então g'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do fator constante: se c é constante e u(x) função, (c\cdot u(x))' = c\cdot u'(x).
  • Regra da potência (power rule): para qualquer número real n, a derivada de x^{n} é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável independente e n é o expoente; a regra diz que a derivada “puxa” o expoente para frente e diminui o expoente em 1.
Vou aplicar essas regras ao nosso f(x). Antes, é conveniente reescrever a fração como potência para aplicar diretamente a regra da potência.

Passo 3

Reescrever o segundo termo para ficar na forma de potência:
\frac{3}{2x^{3}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x^{3}}=\frac{3}{2}\,x^{-3}.
Isso é só álgebra simples: dividir por x^{3} equivale a multiplicar por x^{-3}. Agora a função fica
f(x)=12x^{2}+\frac{3}{2}x^{-3}.

Passo 4

Derivada do primeiro termo 12x^{2}:
  • Uso a regra do fator constante e a regra da potência.
  • A derivada de x^{2} é 2x.
  • Então
\frac{d}{dx}\bigl(12x^{2}\bigr)=12\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=12\cdot(2x)=24x.

Passo 5

Derivada do segundo termo \dfrac{3}{2}x^{-3}:
  • Novamente fator constante e potência.
  • A derivada de x^{-3} é -3x^{-4} pela regra da potência.
  • Então
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{2}x^{-3}\right)=\frac{3}{2}\cdot\left(-3x^{-4}\right)=-\frac{9}{2}x^{-4}.
Explicando a conta: \dfrac{3}{2}\times(-3)=-\dfrac{9}{2}.

Passo 6

Somando as derivadas dos dois termos (regra da soma):
f'(x)=24x-\frac{9}{2}x^{-4}.
Reescrevendo o segundo termo com potência negativa para forma com denominador:
f'(x)=24x-\frac{9}{2x^{4}}.
Se quiser combinar em uma única fração (não é obrigatório), coloca-se denominador comum 2x^{4}:
f'(x)=\frac{48x^{5}-9}{2x^{4}}.

Passo 7

Comentário rápido e motivador: na prova, sempre que houver potências no denominador, convém reescrever como potências com expoente negativo e aplicar a regra da potência. Assim evita-se confusão com quocientes. Você já fez o essencial: fatorar constantes, aplicar a regra da potência e somar os resultados. Vai dar certo!

Resposta

f'(x)=24x-\dfrac{9}{2x^{4}}

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