Determine a derivada de cada função:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é exatamente
(converti para só para ficar mais prático). - Precisa-se de
, a taxa de variação de em função de .
Passo 2
Estratégia simples e prática: transformar a expressão em soma de potências de
para aplicar a regra da potência. Isso evita ter que aplicar a regra do produto diretamente (mas depois mostro também o método com produto, só para fixar). Primeiro passo algébrico:
Usando propriedades de potências
, obtemos:
Explicando a regra da potência (fórmula que vamos usar): para uma constante
e um expoente real
,
Aqui:
-
é a constante multiplicativa (por exemplo ); -
é o expoente (por exemplo ou ); -
é a derivada que queremos.
Exemplos rápidos para fixar:
- Derivada de
é porque . - Derivada de
é .
Passo 3
Aplicando a regra da potência termo a termo em
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Somando as duas derivadas:
Reescrevendo
como fração para ficar mais familiar:
Passo 4
(Alternativa — método com regra do produto, só para aprender outra forma)
Se preferir aplicar a regra do produto direto em com
e
, a regra diz:
Se preferir aplicar a regra do produto direto em
Calculando:
-
. -
(porque derivada de é e de é ).
Agora
Somando:
o mesmo resultado — bom sinal!
Passo 5
Forma fatorada útil (opcional): multiplicando numerador e denominador por
dá uma escrita racional:
Observação sobre domínio: a expressão original e a derivada não estão definidas em
por causa de termos com
; portanto
.