Determine a derivada de cada função:
h(x)=5 x\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
h(x)=5 x\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right).
Informações dadas:
  • A função é exatamente h(x)=5x\bigl(x^{2} + x^{-2}\bigr) (converti \tfrac{1}{x^{2}} para x^{-2} só para ficar mais prático).
  • Precisa-se de h'(x), a taxa de variação de h em função de x.

Passo 2

Estratégia simples e prática: transformar a expressão em soma de potências de x para aplicar a regra da potência. Isso evita ter que aplicar a regra do produto diretamente (mas depois mostro também o método com produto, só para fixar). Primeiro passo algébrico:
h(x)=5x\bigl(x^{2}+x^{-2}\bigr)=5x\cdot x^{2}+5x\cdot x^{-2}.
Usando propriedades de potências \;x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}\;, obtemos:
h(x)=5x^{3}+5x^{-1}.
Explicando a regra da potência (fórmula que vamos usar): para uma constante a e um expoente real n,
\text{se }f(x)=a\,x^{n}\quad\text{então}\quad f'(x)=a\,n\,x^{n-1}.ã
Aqui:
  • a é a constante multiplicativa (por exemplo 5);
  • n é o expoente (por exemplo 3 ou -1);
  • f'(x) é a derivada que queremos.
Exemplos rápidos para fixar:
  • Derivada de x^{2} é 2x porque 1\cdot 2 x^{2-1}=2x.
  • Derivada de x^{-1} é -1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.

Passo 3

Aplicando a regra da potência termo a termo em h(x)=5x^{3}+5x^{-1}:
  • Derivada de 5x^{3} é 5\cdot 3 x^{2}=15x^{2}.
  • Derivada de 5x^{-1} é 5\cdot(-1) x^{-2}=-5x^{-2}.
Somando as duas derivadas:
h'(x)=15x^{2}-5x^{-2}.
Reescrevendo x^{-2} como fração para ficar mais familiar:
h'(x)=15x^{2}-\frac{5}{x^{2}}.

Passo 4

(Alternativa — método com regra do produto, só para aprender outra forma)
Se preferir aplicar a regra do produto direto em h(x)=u(x)\,v(x) com u(x)=5x e v(x)=x^{2}+x^{-2}, a regra diz:
(u v)'=u'v+uv'.
Calculando:
  • u'(x)=5.
  • v'(x)=2x-2x^{-3} (porque derivada de x^{2} é 2x e de x^{-2} é -2x^{-3}).
    Agora
u'v=5\bigl(x^{2}+x^{-2}\bigr)=5x^{2}+5x^{-2},
uv'=5x\bigl(2x-2x^{-3}\bigr)=10x^{2}-10x^{-2}.
Somando:
h'(x)=(5x^{2}+5x^{-2})+(10x^{2}-10x^{-2})=15x^{2}-5x^{-2},
o mesmo resultado — bom sinal!

Passo 5

Forma fatorada útil (opcional): multiplicando numerador e denominador por x^{2} dá uma escrita racional:
h'(x)=\frac{15x^{4}-5}{x^{2}}=\frac{5\bigl(3x^{4}-1\bigr)}{x^{2}}.
Observação sobre domínio: a expressão original e a derivada não estão definidas em x=0 por causa de termos com x^{-2}; portanto x\neq 0.

Resposta

\displaystyle h'(x)=15x^{2}-\frac{5}{x^{2}}

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