Determine a derivada de cada função:
g(x)=3 e^{x}+2 x^{2}-2 x^{-2}+\operatorname{sen}(x)-\cos (x)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a derivada da função
g(x)=3e^{x}+2x^{2}-2x^{-2}+\sin(x)-\cos(x).
Informações dadas (lista de termos da função):
  • termo 1: 3e^{x};
  • termo 2: 2x^{2};
  • termo 3: -2x^{-2};
  • termo 4: \sin(x);
  • termo 5: -\cos(x).

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (com explicação curta e simples):
\text{(Soma)}\quad \frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=u'(x)+v'(x).
Ou seja: deriva termo a termo.
\text{(Constante múltipla)}\quad \frac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x),ú
onde c é constante.
\text{(Regra da potência)}\quad \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1},ê
válida para qualquer expoente real n. Aqui n é o expoente e x a variável.
\text{(Exponencial)}\quad \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
\text{(Trigonometria)}\quad \frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x),\qquad \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Explicação prática: para cada termo aplico a regra apropriada e depois somo os resultados (por causa da regra da soma).

Passo 3

Derivada do primeiro termo 3e^{x}. Usando constante múltipla e \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}:
\frac{d}{dx}\big(3e^{x}\big)=3\cdot e^{x}=3e^{x}.

Passo 4

Derivada do segundo termo 2x^{2}. Aplicando constante múltipla e a regra da potência ( n=2):
\frac{d}{dx}\big(2x^{2}\big)=2\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=2\cdot(2x)=4x.

Passo 5

Derivada do terceiro termo -2x^{-2}. Aqui aplicamos a regra da potência com n=-2:
\frac{d}{dx}\big(-2x^{-2}\big)=-2\cdot\frac{d}{dx}x^{-2}=-2\cdot(-2)x^{-3}=4x^{-3}.
Observação: 4x^{-3} também pode ser escrito como \dfrac{4}{x^{3}}.

Passo 6

Derivadas dos termos trigonométricos:
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x), \qquad \frac{d}{dx}\big(-\cos(x)\big)=-\frac{d}{dx}\cos(x)=-(-\sin(x))=\sin(x).
Portanto os dois termos juntos derivam para \cos(x)+\sin(x).

Passo 7

Agora juntamos tudo (regra da soma): somando as derivadas de cada termo obtém-se
g'(x)=3e^{x}+4x+4x^{-3}+\cos(x)+\sin(x).
Se preferir uma forma sem potências negativas:
g'(x)=3e^{x}+4x+\dfrac{4}{x^{3}}+\cos(x)+\sin(x).

Resposta

g'(x)=3e^{x}+4x+4x^{-3}+\cos(x)+\sin(x)

Exercícios relacionados