Determine a derivada de cada função:
f(x)=3 x^{4}+7 x^{3}-3 x^{2}+5 x-12

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=3x^{4}+7x^{3}-3x^{2}+5x-12 e pede para determinar a derivada dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio de grau 4.
  • Precisa-se calcular f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

O que é derivada, em palavras simples: a derivada de uma função f em relação a x (escrita \dfrac{d}{dx}f(x) ou f'(x)) mede a taxa de variação instantânea de f quando x muda — geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico em cada ponto. Não precisa decorar isso agora, mas é útil para intuir o significado.

Passo 3

Regras básicas que vamos usar (explicadas devagar):
  • Regra da soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big[u(x)+v(x)\big]=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x).
  • Regra da constante multiplicativa: uma constante pode sair da derivada:
\frac{d}{dx}\big[c\cdot u(x)\big]=c\cdot\frac{d}{dx}u(x),
onde c é uma constante real.
  • Regra do monômio (power rule): para um expoente n (inteiro ou real),
\frac{d}{dx}\big[x^{n}\big]=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente; a regra diz que se toma o expoente e multiplica pela variável elevada ao expoente menos um.

Passo 4

Pequena demonstração intuitiva do power rule para n=2 (exemplo concreto): calcule a derivada de x^2 usando o quociente incremental.
\frac{d}{dx}x^{2}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^{2}}{h} =\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
Isso mostra por que o expoente desce como fator e o novo expoente fica um a menos; para n geral o cálculo é análogo (com binômio de Newton).

Passo 5

Agora aplicamos as regras termo a termo ao polinômio dado. Usamos a linearidade e o power rule:
  • Para 3x^{4}: a constante 3 sai e aplicamos power rule a x^{4}:
\frac{d}{dx}\big(3x^{4}\big)=3\cdot\frac{d}{dx}x^{4}=3\cdot(4x^{3})=12x^{3}.
  • Para 7x^{3}:
\frac{d}{dx}\big(7x^{3}\big)=7\cdot\frac{d}{dx}x^{3}=7\cdot(3x^{2})=21x^{2}.
  • Para -3x^{2}:
\frac{d}{dx}\big(-3x^{2}\big)=-3\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=-3\cdot(2x)=-6x.
  • Para 5x: aqui x é x^{1}, então
\frac{d}{dx}(5x)=5\cdot\frac{d}{dx}x=5\cdot1=5.
  • Para a constante -12: a derivada de qualquer constante é zero,
\frac{d}{dx}(-12)=0.

Passo 6

Somando todas as derivadas parciais (pela regra da soma) obtemos a derivada final:
f'(x)=12x^{3}+21x^{2}-6x+5.

Resposta

f'(x)=12x^{3}+21x^{2}-6x+5

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