Determine a derivada de cada função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a derivada dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio de grau 4.
- Precisa-se calcular
, a derivada em relação a .
Passo 2
O que é derivada, em palavras simples: a derivada de uma função
em relação a
(escrita
ou
) mede a taxa de variação instantânea de
quando
muda — geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico em cada ponto. Não precisa decorar isso agora, mas é útil para intuir o significado.
Passo 3
Regras básicas que vamos usar (explicadas devagar):
- Regra da soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja,
- Regra da constante multiplicativa: uma constante pode sair da derivada:
onde
é uma constante real.
- Regra do monômio (power rule): para um expoente
(inteiro ou real),
Aqui
é a variável e
é o expoente; a regra diz que se toma o expoente e multiplica pela variável elevada ao expoente menos um.
Passo 4
Pequena demonstração intuitiva do power rule para
(exemplo concreto): calcule a derivada de
usando o quociente incremental.
Isso mostra por que o expoente desce como fator e o novo expoente fica um a menos; para
geral o cálculo é análogo (com binômio de Newton).
Passo 5
Agora aplicamos as regras termo a termo ao polinômio dado. Usamos a linearidade e o power rule:
- Para
: a constante sai e aplicamos power rule a :
- Para
:
- Para
:
- Para
: aqui é , então
- Para a constante
: a derivada de qualquer constante é zero,
Passo 6
Somando todas as derivadas parciais (pela regra da soma) obtemos a derivada final: