Determine a derivada de cada função:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede: calcular a derivada da função
. - Dado:
. - Observação importante: a expressão original tem denominador
, então a função está originalmente definida para .
Passo 2
Decisão do método (e por que): em vez de aplicar a regra do quociente, é muito mais simples primeiro simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador por
. Isso evita contas extras e usa apenas regras básicas de álgebra antes de derivar. Sempre que der para simplificar uma expressão antes de derivar, é uma boa ideia fazê-lo.
Passo 3
Fazer a simplificação algébrica termo a termo:
Dividindo potências com mesma base subtrai-se expoentes:
Portanto
Passo 4
Regra que vamos usar para derivar (explicada de forma didática):
- Regra da soma/constante: a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes saem da derivada: se
com constante, então . - Regra das potências (power rule): para
real fixo, a derivada de é
O que isso significa: pegue o expoente
, multiplique a função por
e diminua o expoente em uma unidade. Exemplos rápidos:
,
.
Passo 5
Aplicar as regras ao
já simplificado:
- Derivada de
é . - Derivada de
: a constante sai e a derivada de é , logo .
Somando os termos:
Podemos fatorar para ficar mais enxuto:
Lembrete sobre domínio: essa derivada vale para
, que é onde a função original está definida. Se alguém estender a função definindo
, então a expressão simplificada sugere derivada igual a
em
, mas isso depende de definir a função em
(no enunciado original não está definida em
).