Determine a derivada de cada função:
h(x)=\frac{x^{4}-3 x^{3}}{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede: calcular a derivada da função h.
  • Dado: h(x)=\dfrac{x^{4}-3x^{3}}{x}.
  • Observação importante: a expressão original tem denominador x, então a função está originalmente definida para x\neq0.

Passo 2

Decisão do método (e por que): em vez de aplicar a regra do quociente, é muito mais simples primeiro simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador por x. Isso evita contas extras e usa apenas regras básicas de álgebra antes de derivar. Sempre que der para simplificar uma expressão antes de derivar, é uma boa ideia fazê-lo.

Passo 3

Fazer a simplificação algébrica termo a termo:
h(x)=\dfrac{x^{4}-3x^{3}}{x}=\dfrac{x^{4}}{x}-\dfrac{3x^{3}}{x}.
Dividindo potências com mesma base subtrai-se expoentes:
\dfrac{x^{4}}{x}=x^{4-1}=x^{3},\qquad \dfrac{3x^{3}}{x}=3x^{3-1}=3x^{2}.
Portanto
h(x)=x^{3}-3x^{2}\quad\text{(para \(x\neq0\)).}

Passo 4

Regra que vamos usar para derivar (explicada de forma didática):
  • Regra da soma/constante: a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes saem da derivada: se f(x)=a\cdot g(x) com a constante, então f'(x)=a\cdot g'(x).
  • Regra das potências (power rule): para n real fixo, a derivada de x^{n} é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
O que isso significa: pegue o expoente n, multiplique a função por n e diminua o expoente em uma unidade. Exemplos rápidos: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}, \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.

Passo 5

Aplicar as regras ao h(x) já simplificado:
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Derivada de -3x^{2}: a constante -3 sai e a derivada de x^{2} é 2x, logo -3\cdot 2x=-6x.
    Somando os termos:
h'(x)=3x^{2}-6x.
Podemos fatorar para ficar mais enxuto:
h'(x)=3x(x-2).
Lembrete sobre domínio: essa derivada vale para x\neq0, que é onde a função original está definida. Se alguém estender a função definindo h(0)=0, então a expressão simplificada sugere derivada igual a 0 em 0, mas isso depende de definir a função em 0 (no enunciado original não está definida em 0).

Resposta

h'(x)=3x^{2}-6x

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