Determine a derivada de cada função a seguir:
f(x)=\cos ^{3}\left(4 x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
f(x)=\cos^{3}\!\left(4x^{2}+1\right).
Informações dadas que vamos usar: a função é uma composição de funções (uma potência aplicada ao cosseno, que por sua vez recebe 4x^{2}+1). O objetivo é encontrar f'(x).

Passo 2

Estratégia: vamos usar a regra da cadeia. Vou explicar ela devagarinho.
Regra da cadeia (forma simples): se h(x)=g(u(x)), então
h'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Isto significa: derivar a função externa g avaliando-a na função interna u(x), e multiplicar pelo derivado da função interna u'(x). É como “desembrulhar” a composição poupando os passos.

Passo 3

Identificar as camadas (faremos em três níveis porque há potência + cosseno + polinômio):
  • Função externa (mais externa): \displaystyle T(y)=y^{3}. Aqui y representará o resultado do cosseno.
  • Função do meio: \displaystyle S(z)=\cos z. Aqui z será 4x^{2}+1.
  • Função interna: \displaystyle w(x)=4x^{2}+1.
Assim f(x)=T\big(S\big(w(x)\big)\big).

Passo 4

Derivar cada camada separadamente:
  • Derivada da externa: T'(y)=3y^{2}. Isso vem da regra potência: \dfrac{d}{dy}y^{n}=n y^{n-1}.
  • Derivada da camada do meio: S'(z)=-\sin z. Porque \dfrac{d}{dz}\cos z=-\sin z.
  • Derivada da interna: w'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(4x^{2}+1\big)=8x. (Derivada de x^{2} é 2x, multiplicada por 4 8x; constante some.)

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para três camadas:
f'(x)=T'\big(S(w(x))\big)\cdot S'\big(w(x)\big)\cdot w'(x).
Substituindo as expressões que encontramos:
f'(x)=3\big(\cos(4x^{2}+1)\big)^{2}\cdot\big(-\sin(4x^{2}+1)\big)\cdot 8x.
Agora simplificamos constantes e sinais: 3\cdot 8x=24x e há sinal negativo, então
f'(x)=-24x\cos^{2}\!\big(4x^{2}+1\big)\sin\!\big(4x^{2}+1\big).
Essa é a forma final e direta que costuma pedir em prova. Uma alternativa equivalente seria fatorar ou usar identidades trigonométricas, mas essa forma é a mais clara e fácil de identificar.

Resposta

f'(x)=-24x\cos^{2}\!\big(4x^{2}+1\big)\sin\!\big(4x^{2}+1\big)

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