Determine a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
.
Informações dadas que vamos usar: a função é uma composição de funções (uma potência aplicada ao cosseno, que por sua vez recebe ). O objetivo é encontrar
.
Informações dadas que vamos usar: a função é uma composição de funções (uma potência aplicada ao cosseno, que por sua vez recebe
Passo 2
Estratégia: vamos usar a regra da cadeia. Vou explicar ela devagarinho.
Regra da cadeia (forma simples): se , então
Regra da cadeia (forma simples): se
Isto significa: derivar a função externa
avaliando-a na função interna
, e multiplicar pelo derivado da função interna
. É como “desembrulhar” a composição poupando os passos.
Passo 3
Identificar as camadas (faremos em três níveis porque há potência + cosseno + polinômio):
- Função externa (mais externa):
. Aqui representará o resultado do cosseno. - Função do meio:
. Aqui será . - Função interna:
.
Assim
.
Passo 4
Derivar cada camada separadamente:
- Derivada da externa:
. Isso vem da regra potência: . - Derivada da camada do meio:
. Porque . - Derivada da interna:
. (Derivada de é , multiplicada por dá ; constante some.)
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para três camadas:
Substituindo as expressões que encontramos:
Agora simplificamos constantes e sinais:
e há sinal negativo, então
Essa é a forma final e direta que costuma pedir em prova. Uma alternativa equivalente seria fatorar ou usar identidades trigonométricas, mas essa forma é a mais clara e fácil de identificar.