Determine a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é dada explicitamente por
acima. - A função
é a função arco-cosseno hiperbólico (inversa do ) e, no domínio real, exige . - Como o argumento é
, a função só está definida em (isto é, ou ). - Vamos calcular a derivada para pontos do domínio onde a função é diferenciável (ou seja, para
; em há problema na derivada da ).
Passo 2
Regra que vamos usar primeiro: regra do produto.
- Se
e são funções diferenciáveis, então
Aqui identifiquemos
Calculando
:
Comentário prático: a regra do produto diz que derivamos uma das partes mantendo a outra e somamos o contrário; é direto de aplicar na prova.
Passo 3
Agora precisamos de
, ou seja, da derivada de
.
- Lembrete sobre a derivada de
: para ,
Explicação rápida dessa fórmula (intuição): como
é a inversa de
, pode-se derivar usando regra da derivada de função inversa ou usar a expressão
e derivar; o resultado é
. O importante é decorar/usar essa forma e lembrar que vale para
.
- Aplicando a regra da cadeia: se
com , então
Aqui
e
. Substituindo:
Comentário: também se pode escrever
; as duas formas são equivalentes para
, mas a forma com os dois radicais costuma ficar mais clara em provas.
Passo 4
Agora juntamos tudo usando a regra do produto (Passo 2) com
,
e
do Passo 3.
- Pela regra do produto:
Substituindo os valores:
Simplificando o segundo termo (
):
Passo 5
Observações finais e domínio da derivada:
- A expressão encontrada para
é válida para , que é o subconjunto do domínio original onde a derivada existe de forma usual. - Em provas, escreva explicitamente a condição do domínio quando o argumento da função inversa hiperbólica aparece: aqui,
. - Se quiser uma única raiz no denominador, pode combinar os radicais:
; então a forma alternativa é