Determine a derivada de cada função a seguir:
f(x)=x \cdot \operatorname{argcosh}\left(x^{2}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=x\cdot \operatorname{argcosh}\!\left(x^{2}\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é dada explicitamente por f(x) acima.
  • A função \operatorname{argcosh}(t) é a função arco-cosseno hiperbólico (inversa do \operatorname{cosh}) e, no domínio real, exige t\ge 1.
  • Como o argumento é x^{2}, a função só está definida em |x|\ge 1 (isto é, x\le -1 ou x\ge 1).
  • Vamos calcular a derivada para pontos do domínio onde a função é diferenciável (ou seja, para |x|>1; em x=\pm 1 há problema na derivada da \operatorname{argcosh}).

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro: regra do produto.
  • Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui identifiquemos
u(x)=x,\qquad v(x)=\operatorname{argcosh}\!\left(x^{2}\right).
Calculando u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}x=1.
Comentário prático: a regra do produto diz que derivamos uma das partes mantendo a outra e somamos o contrário; é direto de aplicar na prova.

Passo 3

Agora precisamos de v'(x), ou seja, da derivada de \operatorname{argcosh}\!\left(x^{2}\right).
  • Lembrete sobre a derivada de \operatorname{argcosh}: para t>1,
\frac{d}{dt}\operatorname{argcosh}(t)=\frac{1}{\sqrt{t-1}\,\sqrt{t+1}}=\frac{1}{\sqrt{t^{2}-1}}.
Explicação rápida dessa fórmula (intuição): como \operatorname{argcosh} é a inversa de \operatorname{cosh}, pode-se derivar usando regra da derivada de função inversa ou usar a expressão \operatorname{argcosh}(t)=\ln\!\bigl(t+\sqrt{t-1}\sqrt{t+1}\bigr) e derivar; o resultado é 1/\sqrt{t^{2}-1}. O importante é decorar/usar essa forma e lembrar que vale para t>1.
  • Aplicando a regra da cadeia: se v(x)=\operatorname{argcosh}\!\bigl(t(x)\bigr) com t(x)=x^{2}, então
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{argcosh}\!\bigl(t(x)\bigr) =\frac{t'(x)}{\sqrt{t(x)-1}\,\sqrt{t(x)+1}}.
Aqui t(x)=x^{2} e t'(x)=2x. Substituindo:
v'(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}-1}\,\sqrt{x^{2}+1}}.
Comentário: também se pode escrever v'(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{(x^{2})^{2}-1}}=\dfrac{2x}{\sqrt{x^{4}-1}}; as duas formas são equivalentes para |x|>1, mas a forma com os dois radicais costuma ficar mais clara em provas.

Passo 4

Agora juntamos tudo usando a regra do produto (Passo 2) com u'(x)=1, u(x)=x e v'(x) do Passo 3.
  • Pela regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo os valores:
f'(x)=1\cdot \operatorname{argcosh}\!\left(x^{2}\right)+x\cdot \frac{2x}{\sqrt{x^{2}-1}\,\sqrt{x^{2}+1}}.
Simplificando o segundo termo ( x\cdot 2x=2x^{2}):
f'(x)=\operatorname{argcosh}\!\left(x^{2}\right)+\frac{2x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}\,\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 5

Observações finais e domínio da derivada:
  • A expressão encontrada para f'(x) é válida para |x|>1, que é o subconjunto do domínio original onde a derivada existe de forma usual.
  • Em provas, escreva explicitamente a condição do domínio quando o argumento da função inversa hiperbólica aparece: aqui, x^{2}>1\Rightarrow |x|>1.
  • Se quiser uma única raiz no denominador, pode combinar os radicais: \sqrt{x^{2}-1}\,\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{x^{4}-1}; então a forma alternativa é
f'(x)=\operatorname{argcosh}\!\left(x^{2}\right)+\frac{2x^{2}}{\sqrt{x^{4}-1}}.

Resposta

f'(x)=\operatorname{argcosh}\!\left(x^{2}\right)+\frac{2x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}\,\sqrt{x^{2}+1}}

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