Durante um processo de tratamento térmico com deformação controlada, em um material metálico, acompanha-se a posição de um marcador microscópico, que se move no interior da peça, enquanto esta sofre aquecimento.
O movimento do marcador é descrito por uma função vetorial no espaço tridimensional:
r(t)=\langle x(t), y(t), z(t)\rangle
Onde:
\boldsymbol{x}(\boldsymbol{t})=\frac{t^{2}}{1+t} \quad : representa o alongamento relativo do material, durante o processo;
y(t)=t e^{t} : está relacionado à variação de temperatura e energía de ativação da difusão;
\boldsymbol{z}(\boldsymbol{t})=\frac{2 t}{1+t^{2}} : modela o deslocamento médio de átomos de soluto ao longo da espessura.
Considere \boldsymbol{t} como um parâmetro de processo (adimensional).
(a) Determine a posição inicial do marcador no início do tratamento, isto é, calcule \lim _{t \rightarrow 0} r(t).
\lim _{t \rightarrow 0} r(t)=\langle 0,0,0\rangle
(b) Calcule a velocidade inicial \boldsymbol{r}^{\prime}(\mathbf{0}).
x^{\prime}(t)=\frac{\left(1+t^{2}\right) \cdot 2-t^{2}}{(1+t)^{2}}
y^{\prime}(t)=t e^{t}+1 \cdot e^{t}
z^{\prime}(t)=\frac{-2 t^{2}+2}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}
r^{\prime}(0)=\langle 0,1,2\rangle

Passo 1

O enunciado dá a posição do marcador como a função vetorial
r(t)=\langle x(t),\,y(t),\,z(t)\rangle
com as componentes
x(t)=\frac{t^{2}}{1+t},\qquad y(t)=t e^{t},\qquad z(t)=\frac{2t}{1+t^{2}}.
As perguntas são:
(a) calcular \displaystyle \lim_{t\to 0} r(t) (posição inicial do marcador);
(b) calcular a velocidade inicial \,r'(0) (derivada de r avaliada em t=0).

Passo 2

Vou calcular a posição inicial componente a componente, ou seja os limites \lim_{t\to 0} x(t), \lim_{t\to 0} y(t) e \lim_{t\to 0} z(t). Regra usada: se as funções componentes são compostas por polinômios, exponenciais e operações algébricas contínuas no ponto, o limite é obtido substituindo t=0.

Passo 3

Calcular \lim_{t\to 0} x(t):
x(t)=\frac{t^{2}}{1+t}.
Substituindo t=0 no numerador e denominador (denominador não fica zero):
\lim_{t\to 0} x(t)=\frac{0^{2}}{1+0}=0.

Passo 4

Calcular \lim_{t\to 0} y(t):
y(t)=t e^{t}.
Como e^{t} é contínua e t tende a 0,
\lim_{t\to 0} y(t)=0\cdot e^{0}=0\cdot 1=0.

Passo 5

Calcular \lim_{t\to 0} z(t):
z(t)=\frac{2t}{1+t^{2}}.
Substituindo t=0:
\lim_{t\to 0} z(t)=\frac{2\cdot 0}{1+0^{2}}=0.

Passo 6

Reunindo as componentes, obtém-se a posição inicial:
\lim_{t\to 0} r(t)=\langle 0,\,0,\,0\rangle.

Passo 7

Agora vamos calcular a velocidade r'(t)=\langle x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\rangle e então avaliar em t=0. Lembrete rápido das regras de derivação que usarei:
  • Regra do quociente: se u(t)=\dfrac{p(t)}{q(t)} então
u'(t)=\frac{p'(t)q(t)-p(t)q'(t)}{q(t)^{2}}.
  • Regra do produto: se v(t)=p(t)q(t) então
v'(t)=p'(t)q(t)+p(t)q'(t).
Também usarei que \dfrac{d}{dt} e^{t}=e^{t} e \dfrac{d}{dt} t=1.

Passo 8

Derivada de x(t)=\dfrac{t^{2}}{1+t} usando a regra do quociente. Tome p(t)=t^{2} e q(t)=1+t. Então p'(t)=2t e q'(t)=1. Aplica-se:
x'(t)=\frac{p'(t)q(t)-p(t)q'(t)}{q(t)^{2}}=\frac{(2t)(1+t)-t^{2}\cdot 1}{(1+t)^{2}}.
Simplificando o numerador:
(2t)(1+t)-t^{2}=2t+2t^{2}-t^{2}=2t+t^{2}=t(2+t).
Portanto
x'(t)=\frac{t(2+t)}{(1+t)^{2}}.

Passo 9

Derivada de y(t)=t e^{t} usando a regra do produto. Tome p(t)=t e q(t)=e^{t}. Então p'(t)=1 e q'(t)=e^{t}. Aplica-se:
y'(t)=p'(t)q(t)+p(t)q'(t)=1\cdot e^{t}+t\cdot e^{t}=e^{t}(1+t).

Passo 10

Derivada de z(t)=\dfrac{2t}{1+t^{2}} usando a regra do quociente. Tome p(t)=2t e q(t)=1+t^{2}. Então p'(t)=2 e q'(t)=2t. Aplica-se:
z'(t)=\frac{p'(t)q(t)-p(t)q'(t)}{q(t)^{2}}=\frac{2(1+t^{2})-(2t)(2t)}{(1+t^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
2(1+t^{2})-4t^{2}=2+2t^{2}-4t^{2}=2-2t^{2}=2(1-t^{2}).
Portanto
z'(t)=\frac{2(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}.

Passo 11

Avaliar as derivadas em t=0:
  • Para x'(t)=\dfrac{t(2+t)}{(1+t)^{2}}:
x'(0)=\frac{0\cdot(2+0)}{(1+0)^{2}}=0.
  • Para y'(t)=e^{t}(1+t):
y'(0)=e^{0}(1+0)=1\cdot 1=1.
  • Para z'(t)=\dfrac{2(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}:
z'(0)=\frac{2(1-0^{2})}{(1+0^{2})^{2}}=\frac{2}{1}=2.

Passo 12

Portanto a velocidade inicial é
r'(0)=\langle 0,\,1,\,2\rangle.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{t\to 0} r(t)=\langle 0,0,0\rangle
(b) \displaystyle r'(0)=\langle 0,1,2\rangle

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