Durante um processo de tratamento térmico com deformação controlada, em um material metálico, acompanha-se a posição de um marcador microscópico, que se move no interior da peça, enquanto esta sofre aquecimento.
O movimento do marcador é descrito por uma função vetorial no espaço tridimensional:
Onde:
: representa o alongamento relativo do material, durante o processo;
: está relacionado à variação de temperatura e energía de ativação da difusão;
: modela o deslocamento médio de átomos de soluto ao longo da espessura.
Considere
como um parâmetro de processo (adimensional).
(a) Determine a posição inicial do marcador no início do tratamento, isto é, calcule
.
(b) Calcule a velocidade inicial
.
Considere
(a) Determine a posição inicial do marcador no início do tratamento, isto é, calcule
(b) Calcule a velocidade inicial
Passo 1
O enunciado dá a posição do marcador como a função vetorial
com as componentes
As perguntas são:
(a) calcular (posição inicial do marcador);
(b) calcular a velocidade inicial (derivada de
avaliada em
).
(a) calcular
(b) calcular a velocidade inicial
Passo 2
Vou calcular a posição inicial componente a componente, ou seja os limites
,
e
. Regra usada: se as funções componentes são compostas por polinômios, exponenciais e operações algébricas contínuas no ponto, o limite é obtido substituindo
.
Passo 3
Calcular
:
Substituindo
no numerador e denominador (denominador não fica zero):
Passo 4
Calcular
:
Como
é contínua e
tende a
,
Passo 5
Calcular
:
Substituindo
:
Passo 6
Reunindo as componentes, obtém-se a posição inicial:
Passo 7
Agora vamos calcular a velocidade
e então avaliar em
. Lembrete rápido das regras de derivação que usarei:
- Regra do quociente: se
então
- Regra do produto: se
então
Também usarei que
e
.
Passo 8
Derivada de
usando a regra do quociente. Tome
e
. Então
e
. Aplica-se:
Simplificando o numerador:
Portanto
Passo 9
Derivada de
usando a regra do produto. Tome
e
. Então
e
. Aplica-se:
Passo 10
Derivada de
usando a regra do quociente. Tome
e
. Então
e
. Aplica-se:
Simplificando o numerador:
Portanto
Passo 11
Avaliar as derivadas em
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 12
Portanto a velocidade inicial é
Resposta
(a)
(b)
(b)