Determine a derivada de cada função a seguir:
f(x)=e^x arcsen x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=e^x·arcsen(x). O conteúdo envolvido é derivadas: vamos usar a regra do produto e a derivada de funções elementares como e^x e arcsen(x).

Passo 2

Identificamos u(x)=e^x e v(x)=arcsen(x). Pela regra do produto, se f(x)=u(x)v(x), então f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x).

Passo 3

Calculamos u’(x) e v’(x). Sabemos que a derivada de e^x é e^x: u’(x)=e^x. Para arcsen(x), usamos a fórmula da derivada da função inversa do seno: v’(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 4

Substituindo na regra do produto obtemos
Podemos ainda fatorar e^x em evidência para simplificar a expressão

Resposta

f'(x)=e^xl(arcsenx+1raiz1-x^2r)

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