Determine a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função f(x)=e^x·arcsen(x). O conteúdo envolvido é derivadas: vamos usar a regra do produto e a derivada de funções elementares como e^x e arcsen(x).
Passo 2
Identificamos u(x)=e^x e v(x)=arcsen(x). Pela regra do produto, se f(x)=u(x)v(x), então f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x).
Passo 3
Calculamos u’(x) e v’(x). Sabemos que a derivada de e^x é e^x: u’(x)=e^x. Para arcsen(x), usamos a fórmula da derivada da função inversa do seno: v’(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Passo 4
Substituindo na regra do produto obtemos
Podemos ainda fatorar e^x em evidência para simplificar a expressão
Podemos ainda fatorar e^x em evidência para simplificar a expressão