Encontre a área
da região limitada pelas curvas:
(A)
(B)
©
(D)
(E) outro valor.
(B)
©
(D)
(E) outro valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área $ A $ da região que está entre as curvas $ x + y = 3 $ e $ x^2 + y = 3 $. Esse problema envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração para calcular áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas e depois integrar a diferença entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, vamos resolver o sistema de equações:
Podemos subtrair a segunda equação da primeira:
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora que temos os valores de $ x $ onde as curvas se interceptam ($ x = 0 $ e $ x = 1 $), vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $ substituindo na primeira equação $ x + y = 3 $:
- Para $ x = 0 $:
- Para $ x = 1 $:
Então, os pontos de interseção são $ (0, 3) $ e $ (1, 2) $.
Passo 4
Agora, vamos identificar qual das curvas está acima da outra entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Vamos pegar um valor de $ x $ entre 0 e 1, por exemplo, $ x = 0.5 $:
- Para $ x = 0.5 $:
Aqui, a parábola dá $ y = 2.75 $ e a reta dá $ y = 2.5 $. Então, a parábola está acima da reta nesse intervalo.
Passo 5
A área entre as duas curvas de $ x = 0 $ a $ x = 1 $ é dada pela integral da diferença das funções:
Simplificando dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Substituindo os limites:
Para somar essas frações, vamos achar um denominador comum:
Resposta
A área $ A $ da região limitada pelas curvas é $ A = \frac{1}{6} $. A alternativa correta é a opção © $ A = \frac{1}{6} $.