Encontre a área A da região limitada pelas curvas:
x+y=3 e cdot y+x^2=3
(A) A=12
(B) A=1
© A=16
(D) A=13
(E) outro valor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área $ A $ da região que está entre as curvas $ x + y = 3 $ e $ x^2 + y = 3 $. Esse problema envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração para calcular áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas e depois integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, vamos resolver o sistema de equações:
x + y = 3 x^2 + y = 3
Podemos subtrair a segunda equação da primeira:
(x + y) - (x^2 + y) = 3 - 3 x - x^2 = 0 x(1 - x) = 0
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora que temos os valores de $ x $ onde as curvas se interceptam ($ x = 0 $ e $ x = 1 $), vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $ substituindo na primeira equação $ x + y = 3 $:
  • Para $ x = 0 $:
x
  • Para $ x = 1 $:
x = 0
Então, os pontos de interseção são $ (0, 3) $ e $ (1, 2) $.

Passo 4

Agora, vamos identificar qual das curvas está acima da outra entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Vamos pegar um valor de $ x $ entre 0 e 1, por exemplo, $ x = 0.5 $:
  • Para $ x = 0.5 $:
x = 0 á
Aqui, a parábola dá $ y = 2.75 $ e a reta dá $ y = 2.5 $. Então, a parábola está acima da reta nesse intervalo.

Passo 5

A área entre as duas curvas de $ x = 0 $ a $ x = 1 $ é dada pela integral da diferença das funções:
x = 0
Simplificando dentro da integral:
x = 1

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
A = integral0^1 (-x^2 + x) dx = [ -x^33 + x^22 ]0^1
Substituindo os limites:
A = ( -13 + 12 ) - ( 0 + 0 ) = -13 + 12
Para somar essas frações, vamos achar um denominador comum:
-13 + 12 = -26 + 36 = 16

Resposta

A área $ A $ da região limitada pelas curvas é $ A = \frac{1}{6} $. A alternativa correta é a opção © $ A = \frac{1}{6} $.

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