Determine a derivada de cada função a seguir:
f(x)=\ln \left(\cos \left(e^{2 x}\right)\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln\!\big(\cos\!\big(e^{2x}\big)\big)
e pede a derivada f'(x).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é uma composição de três funções: a função externa é o logaritmo natural \ln(\cdot), a função do meio é o cosseno \cos(\cdot) e a função interna é a exponencial e^{2x}.
  • Para que f(x) esteja bem definida, o argumento do logaritmo precisa ser positivo, ou seja \cos\!\big(e^{2x}\big)>0. A derivada que vamos obter vale nos pontos onde a função está definida.

Passo 2

Vamos decompor a função em camadas (isso facilita aplicar a regra correta):
  • Definir u(x)=\cos\!\big(e^{2x}\big).
  • Então f(x)=\ln\!\big(u(x)\big).
  • Ainda, dentro de u temos v(x)=e^{2x}, de modo que u(x)=\cos\big(v(x)\big).
Essa decomposição mostra que precisamos aplicar a regra da cadeia várias vezes: primeiro para \ln composta com u(x), depois para \cos composta com v(x), e finalmente para e^{2x}.

Passo 3

Relembrando as derivadas básicas que usaremos (e por que elas valem):
  • Derivada do logaritmo natural: para t>0,
\frac{d}{dt}\big(\ln t\big)=\frac{1}{t}.
Isto significa que, se F(x)=\ln(u(x)), então pela regra da cadeia
F'(x)=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x).
  • Derivada do cosseno: para todo t,
\frac{d}{dt}\big(\cos t\big)=-\sin t.
Assim, se u(x)=\cos(v(x)) então
u'(x)=-\sin\big(v(x)\big)\cdot v'(x).
  • Derivada da exponencial e^{ax}: para constante a,
\frac{d}{dx}\big(e^{ax}\big)=a\,e^{ax}.
No nosso caso v(x)=e^{2x}, logo v'(x)=2e^{2x}.
Estas fórmulas são aplicadas em sequência porque estamos com uma composição de três funções.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia passo a passo, substituindo as derivadas que lembramos:
Primeiro,
f'(x)=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x) =\frac{1}{\cos\!\big(e^{2x}\big)}\cdot u'(x).
Em seguida, para u'(x) usamos a derivada do cosseno:
u'(x)=-\sin\!\big(v(x)\big)\cdot v'(x) =-\sin\!\big(e^{2x}\big)\cdot v'(x).
E por fim v'(x)=2e^{2x}. Juntando tudo:
f'(x)=\frac{1}{\cos\!\big(e^{2x}\big)}\cdot\big(-\sin\!\big(e^{2x}\big)\big)\cdot\big(2e^{2x}\big).
Agora simplificamos a expressão multiplicativa:
f'(x)=-2e^{2x}\,\frac{\sin\!\big(e^{2x}\big)}{\cos\!\big(e^{2x}\big)}.
E reconhecendo a tangente como razão seno sobre cosseno:
\frac{\sin\!\big(e^{2x}\big)}{\cos\!\big(e^{2x}\big)}=\tan\!\big(e^{2x}\big),
obtemos a forma mais compacta
f'(x)=-2e^{2x}\,\tan\!\big(e^{2x}\big).

Passo 5

Comentários finais e verificação rápida:
  • A derivada foi obtida aplicando a regra da cadeia três vezes: \ln \cos e^{2x}.
  • A expressão resulta em um produto de três fatores: o coeficiente 2, a exponencial e^{2x} vinda de v'(x), e -\tan(e^{2x}) vindo da cadeia \frac{1}{\cos}\cdot(-\sin).
  • A fórmula é válida nos pontos em que f está definida, isto é, onde \cos\!\big(e^{2x}\big)>0.
Exemplo rápido para fixar o padrão: se g(x)=\ln(\cos x) (uma composição de duas funções), então
g'(x)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)=-\tan x,
o que segue exatamente o mesmo raciocínio, só com uma camada a menos.

Resposta

-2e^{2x}\tan\!\big(e^{2x}\big)

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