Determine a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é uma composição de três funções: a função externa é o logaritmo natural
, a função do meio é o cosseno e a função interna é a exponencial . - Para que
esteja bem definida, o argumento do logaritmo precisa ser positivo, ou seja . A derivada que vamos obter vale nos pontos onde a função está definida.
Passo 2
Vamos decompor a função em camadas (isso facilita aplicar a regra correta):
- Definir
. - Então
. - Ainda, dentro de
temos , de modo que .
Essa decomposição mostra que precisamos aplicar a regra da cadeia várias vezes: primeiro para
composta com
, depois para
composta com
, e finalmente para
.
Passo 3
Relembrando as derivadas básicas que usaremos (e por que elas valem):
- Derivada do logaritmo natural: para
,
Isto significa que, se
, então pela regra da cadeia
- Derivada do cosseno: para todo
,
Assim, se
então
- Derivada da exponencial
: para constante ,
No nosso caso
, logo
.
Estas fórmulas são aplicadas em sequência porque estamos com uma composição de três funções.
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia passo a passo, substituindo as derivadas que lembramos:
Primeiro,
Em seguida, para
usamos a derivada do cosseno:
E por fim
. Juntando tudo:
Agora simplificamos a expressão multiplicativa:
E reconhecendo a tangente como razão seno sobre cosseno:
obtemos a forma mais compacta
Passo 5
Comentários finais e verificação rápida:
- A derivada foi obtida aplicando a regra da cadeia três vezes:
→ → . - A expressão resulta em um produto de três fatores: o coeficiente
, a exponencial vinda de , e vindo da cadeia . - A fórmula é válida nos pontos em que
está definida, isto é, onde .
Exemplo rápido para fixar o padrão: se
(uma composição de duas funções), então
o que segue exatamente o mesmo raciocínio, só com uma camada a menos.