Determine a derivada de cada função a seguir:
f(x)=\operatorname{sec} \left(\ln \left(x^{2}+x\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\operatorname{sec}\!\big(\ln\!(x^{2}+x)\big).
Informações/dados relevantes:
  • A função é uma composição de funções: há uma função externa \operatorname{sec}(\cdot), uma função intermediária \ln(\cdot) e uma função interna x^{2}+x.
  • O domínio natural da função original exige que o argumento do logaritmo seja positivo:
x^{2}+x>0.
  • Onde \cos(\ln(x^{2}+x))=0 a função \operatorname{sec}(\ln(x^{2}+x)) não está definida; esses pontos também ficam fora do domínio.

Passo 2

Vamos decompor a função em camadas para aplicar a regra da cadeia com calma. Defino:
h(x)=x^{2}+x, \qquad g(x)=\ln\big(h(x)\big), \qquad f(x)=\operatorname{sec}\big(g(x)\big).
Ou seja, f(x)=\operatorname{sec}(g(x)) com g(x)=\ln(h(x)) e h(x)=x^{2}+x. Essa decomposição ajuda a aplicar derivação passo a passo.

Passo 3

Regra da cadeia (idéia e fórmula). Quando uma função é composição F(x)=A(B(x)), a derivada é dado por multiplicar a derivada da função externa avaliada na interna pela derivada da interna:
F'(x)=A'\big(B(x)\big)\cdot B'(x).
Aqui aplicaremos essa regra duas vezes: primeiro para f(x)=\operatorname{sec}(g(x)) e depois para g(x)=\ln(h(x)).

Passo 4

Derivada da função externa \operatorname{sec}(u). Lembre que a derivada de \operatorname{sec}(u) em relação a u é
\frac{d}{du}\operatorname{sec}(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u).
Portanto, aplicando a regra da cadeia à primeira composição:
f'(x)=\operatorname{sec}\big(g(x)\big)\tan\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Aqui g'(x) é a derivada da camada seguinte, que vamos calcular agora.

Passo 5

Derivada da função intermediária g(x)=\ln(h(x)). A derivada do logaritmo natural é
\frac{d}{dv}\ln(v)=\frac{1}{v},
portanto, aplicando regra da cadeia a g(x)=\ln(h(x)),
g'(x)=\frac{h'(x)}{h(x)}.
Agora calculamos h'(x).

Passo 6

Derivada da função interna h(x)=x^{2}+x. Esta é uma soma de potências simples; usando a regra do poder:
\frac{d}{dx}x^{2}=2x, \qquad \frac{d}{dx}x=1,
logo
h'(x)=2x+1.

Passo 7

Juntando tudo: substituímos h'(x) e h(x) em g'(x), e então em f'(x). Temos
g'(x)=\frac{2x+1}{x^{2}+x},
e portanto
f'(x)=\operatorname{sec}\big(g(x)\big)\tan\big(g(x)\big)\cdot\frac{2x+1}{x^{2}+x}.
Voltando à notação original g(x)=\ln(x^{2}+x), obtemos a expressão final simplificada:
f'(x)=\frac{2x+1}{x^{2}+x}\,\operatorname{sec}\!\big(\ln(x^{2}+x)\big)\tan\!\big(\ln(x^{2}+x)\big).

Passo 8

Interpretação final e comentários rápidos (úteis para a prova):
  • A derivada foi obtida aplicando a regra da cadeia em camadas: derivar \operatorname{sec} → derivar \ln → derivar o polinômio.
  • Sempre verificar o domínio: a expressão para f'(x) só faz sentido onde x^{2}+x>0 e onde \cos(\ln(x^{2}+x))\neq0 (caso contrário \operatorname{sec} não existe).
  • Estrutura prática para usar na prova: identifique as camadas da composição e multiplique as derivadas de fora para dentro.

Resposta

f'(x)=\frac{2x+1}{x^{2}+x}\,\operatorname{sec}\!\big(\ln(x^{2}+x)\big)\tan\!\big(\ln(x^{2}+x)\big)

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