Determine a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações/dados relevantes:
- A função é uma composição de funções: há uma função externa
, uma função intermediária e uma função interna . - O domínio natural da função original exige que o argumento do logaritmo seja positivo:
- Onde
a função não está definida; esses pontos também ficam fora do domínio.
Passo 2
Vamos decompor a função em camadas para aplicar a regra da cadeia com calma. Defino:
Ou seja,
com
e
. Essa decomposição ajuda a aplicar derivação passo a passo.
Passo 3
Regra da cadeia (idéia e fórmula). Quando uma função é composição
, a derivada é dado por multiplicar a derivada da função externa avaliada na interna pela derivada da interna:
Aqui aplicaremos essa regra duas vezes: primeiro para
e depois para
.
Passo 4
Derivada da função externa
. Lembre que a derivada de
em relação a
é
Portanto, aplicando a regra da cadeia à primeira composição:
Aqui
é a derivada da camada seguinte, que vamos calcular agora.
Passo 5
Derivada da função intermediária
. A derivada do logaritmo natural é
portanto, aplicando regra da cadeia a
,
Agora calculamos
.
Passo 6
Derivada da função interna
. Esta é uma soma de potências simples; usando a regra do poder:
logo
Passo 7
Juntando tudo: substituímos
e
em
, e então em
. Temos
e portanto
Voltando à notação original
, obtemos a expressão final simplificada:
Passo 8
Interpretação final e comentários rápidos (úteis para a prova):
- A derivada foi obtida aplicando a regra da cadeia em camadas: derivar
→ derivar → derivar o polinômio. - Sempre verificar o domínio: a expressão para
só faz sentido onde e onde (caso contrário não existe). - Estrutura prática para usar na prova: identifique as camadas da composição e multiplique as derivadas de fora para dentro.