Determine a derivada de cada uma das funções abaixo utilizando exclusivamente a definição de limite:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada de uma função usando exclusivamente a definição de limite. A função dada é
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Precisa-se calcular a derivada em um ponto genérico
(ou seja, obter ) usando a definição de derivada por limite. - Não usar regras prontas (como regra do poder) — fazer pelo quociente incremental e limite.
Passo 2
Recordando a definição de derivada (por limite) que vamos usar: a derivada de
num ponto
é o limite do quociente incremental quando o incremento tende a zero. Em forma matemática:
Aqui,
é um número real que representa um pequeno incremento em
. A ideia é calcular a expressão dentro do limite (o quociente), simplificá-la para que seja possível cancelar
no numerador, e então tomar o limite quando
.
Passo 3
Vamos montar o quociente incremental substituindo a função dada:
Repare que o
se cancela com o
do outro parêntese, pois a constante subtrai de si mesma.
Passo 4
Simplificar o numerador: primeiro desenvolve-se
:
Substituindo:
Como
, e distribuindo o
:
Passo 5
Agora o quociente incremental fica
Fatorando
no numerador para poder simplificar:
logo
para todo
. Essa simplificação é a chave: cancelamos o
que estava impedindo o cálculo direto do limite.
Passo 6
Agora aplicamos o limite quando
:
Como
é independente de
e
, o limite é simplesmente
Passo 7
Interpretação final e observações didáticas rápidas (para a prova):
- A constante
desapareceu porque a derivada de constante é zero (isso ficou explícito quando cancelou no quociente incremental). - O termo quadrático
produziu um termo linear na derivada; se precisar, repita o mesmo procedimento com substituído por um ponto para provar que a derivada em qualquer ponto é . - Em prova, faça sempre: escreva a definição, expanda
, cancele, fatorize e calcule o limite — é um passo a passo seguro.