Determine a derivada de cada uma das funções abaixo utilizando exclusivamente a definição de limite:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=5 x^{2}-2

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada de uma função usando exclusivamente a definição de limite. A função dada é \mathrm{f}(\mathrm{x}) = 5x^{2}-2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \mathrm{f}(\mathrm{x}) = 5x^{2}-2.
  • Precisa-se calcular a derivada em um ponto genérico x (ou seja, obter \mathrm{f}'(x)) usando a definição de derivada por limite.
  • Não usar regras prontas (como regra do poder) — fazer pelo quociente incremental e limite.

Passo 2

Recordando a definição de derivada (por limite) que vamos usar: a derivada de \mathrm{f} num ponto x é o limite do quociente incremental quando o incremento tende a zero. Em forma matemática:
\mathrm{f}'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\mathrm{f}(x+h)-\mathrm{f}(x)}{h}.
Aqui, h é um número real que representa um pequeno incremento em x. A ideia é calcular a expressão dentro do limite (o quociente), simplificá-la para que seja possível cancelar h no numerador, e então tomar o limite quando h\to0.

Passo 3

Vamos montar o quociente incremental substituindo a função dada:
\frac{\mathrm{f}(x+h)-\mathrm{f}(x)}{h} = \frac{\bigl(5(x+h)^{2}-2\bigr)-\bigl(5x^{2}-2\bigr)}{h}.
Repare que o -2 se cancela com o +2 do outro parêntese, pois a constante subtrai de si mesma.

Passo 4

Simplificar o numerador: primeiro desenvolve-se (x+h)^{2}:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Substituindo:
5(x+h)^{2}-2 - (5x^{2}-2) =5(x^{2}+2xh+h^{2})-2-5x^{2}+2.
Como -2+2=0, e distribuindo o 5:
=5x^{2}+10xh+5h^{2}-5x^{2}=10xh+5h^{2}.

Passo 5

Agora o quociente incremental fica
\frac{\mathrm{f}(x+h)-\mathrm{f}(x)}{h} =\frac{10xh+5h^{2}}{h}.
Fatorando h no numerador para poder simplificar:
10xh+5h^{2}=h(10x+5h),
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\frac{10xh+5h^{2}}{h}=\frac{h(10x+5h)}{h}=10x+5h,
para todo h\neq0. Essa simplificação é a chave: cancelamos o h que estava impedindo o cálculo direto do limite.

Passo 6

Agora aplicamos o limite quando h\to0:
\mathrm{f}'(x)=\lim_{h\to0}\bigl(10x+5h\bigr).
Como 10x é independente de h e \lim_{h\to0}5h=0, o limite é simplesmente
\mathrm{f}'(x)=10x+0=10x.

Passo 7

Interpretação final e observações didáticas rápidas (para a prova):
  • A constante -2 desapareceu porque a derivada de constante é zero (isso ficou explícito quando -2 cancelou no quociente incremental).
  • O termo quadrático 5x^{2} produziu um termo linear 10x na derivada; se precisar, repita o mesmo procedimento com x substituído por um ponto a para provar que a derivada em qualquer ponto a é 10a.
  • Em prova, faça sempre: escreva a definição, expanda (x+h)^{2}, cancele, fatorize h e calcule o limite — é um passo a passo seguro.

Resposta

\mathrm{f}'(x)=10x

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