Determine a derivada de cada uma das seguintes funçōes nos pontos indicados:
d) f(x, y, z)=x^2 y z+3 x z^2 em(1,2,-1)

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada total (ou gradiente) da função fcolon R^3to R dada por
f(x,y,z)=x^2 y z + 3x z^2
no ponto (1,2,-1). Para isso vamos calcular as derivadas parciais em relação a x, y e z e depois avaliá-las no ponto indicado.

Passo 2

Primeiro, derivamos em relação a x:
partial fpartial x=2x y z + 3z^2
Substituindo (x,y,z)=(1,2,-1):
partial fpartial x(1,2,-1)=2cdot1cdot2cdot(-1)+3cdot(-1)^2=-4+3=-1

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais em relação a y e z:
partial fpartial y=x^2 z, partial fpartial z=x^2 y + 6x z
Avaliando em (1,2,-1):
partial fpartial y(1,2,-1)=1^2cdot(-1)=-1, partial fpartial z(1,2,-1)=1^2cdot2+6cdot1cdot(-1)=2-6=-4

Resposta

nabla f(1,2,-1)=(-1,-1,-4)

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