Determine a derivada de cada uma das seguintes funçōes nos pontos indicados:
c) f(x, y)=x sen(x y) em(pi / 4,2)

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada total de f(x,y)=x
sen(xy) no ponto (π/4,2). Como f:ℝ²→ℝ, sua derivada total Df§ é dada pelas derivadas parciais ∂f/∂x e ∂f/∂y avaliadas em p.

Passo 2

Para ∂f/∂x usamos a regra do produto e a cadeia:
partial fpartial x(x,y)=1cdotsin(xy)+xcdotcos(xy)cdot y=sin(xy)+xycos(xy)

Passo 3

Para ∂f/∂y usamos só a cadeia em x
sen(xy):
partial fpartial y(x,y)=xcdotcos(xy)cdot x=x^2cos(xy)

Passo 4

Agora avaliamos em (x,y)=(π/4,2). Note que xy=(π/4)·2=π/2, sen(π/2)=1 e cos(π/2)=0. Substituindo:
partial fpartial x(tfracpi4,2)=1+tfracpi4cdot2cdot0=1,
partial fpartial y(tfracpi4,2)=(tfracpi4)^2cdot0=0

Resposta

As derivadas parciais em (π/4,2) são ∂f/∂x=1 e ∂f/∂y=0, logo Df(π/4,2)=(1,0).

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