Determine as componentes de F no sistema de coordenadas polares sabendo que
F=xraizx^2+y^2 i+yraizx^2+y^2 j

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as componentes de um campo vetorial dado em coordenadas cartesianas no sistema de coordenadas polares. Isto envolve lembrar as relações entre as variáveis cartesiano–polares e a definição das direções unitárias em polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, temos as substituições
x = rcostheta,
y = rsintheta,
e o raio é
raizx^2 + y^2 = r

Passo 3

Substituindo em
vec F = xraizx^2+y^2,hat i + yraizx^2+y^2,hat j
recebemos
vec F = rcosthetar,hat i + rsinthetar,hat j = costheta,hat i + sintheta,hat j

Passo 4

Na base polar, as direções unitárias são
hat er = costheta,hat i + sintheta,hat j,
hat etheta = -sintheta,hat i + costheta,hat j

Passo 5

Para achar as componentes polares, projetamos vec F em hat er e em hat etheta:
Fr = vec F cdot hat er = (costheta)(costheta) + (sintheta)(sintheta) = 1,
Ftheta = vec F cdot hat etheta = (costheta)(-sintheta) + (sintheta)(costheta) = 0

Resposta

As componentes em coordenadas polares são
Fr = 1, Ftheta = 0

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