Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções a seguir.
f) f(x, y, z)=cos (4 x+3 y+2 z)

Passo 1

A função dada é f(x,y,z)=cos(4x+3y+2z). O conteúdo aqui é derivadas parciais de segunda ordem e vamos precisar aplicar a regra da cadeia junto com as derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem. Como f(u)=cos(u), temos f'(u)=-sin(u). Definindo u(x,y,z)=4x+3y+2z, então
fx = partialpartial xcos(u) = -sin(u)cdotpartial upartial x = -sin(4x+3y+2z)cdot4 = -4,sin(4x+3y+2z),
fy = -sin(4x+3y+2z)cdot3 = -3,sin(4x+3y+2z),
fz = -sin(4x+3y+2z)cdot2 = -2,sin(4x+3y+2z)

Passo 3

Agora vamos às derivadas parciais de segunda ordem puras. Novamente aplicamos a regra da cadeia em cada derivada de primeira ordem:
fxx = partialpartial x(-4sin(u)) = -4cos(u)cdotpartial upartial x = -4cos(4x+3y+2z)cdot4 = -16,cos(4x+3y+2z),
fyy = partialpartial y(-3sin(u)) = -3cos(u)cdot3 = -9,cos(4x+3y+2z),
fzz = partialpartial z(-2sin(u)) = -2cos(u)cdot2 = -4,cos(4x+3y+2z)

Passo 4

Por fim, as derivadas parciais de segunda ordem mistas. Por exemplo, para fxy derivamos fx em relação a y:
fxy = partialpartial y(-4sin(u)) = -4cos(u)cdot3 = -12,cos(4x+3y+2z)

Passo 5

Analogamente obtém-se
fxz = -4cos(4x+3y+2z)cdot2 = -8,cos(4x+3y+2z),
fyz = partialpartial z(-3sin(u)) = -3cos(u)cdot2 = -6,cos(4x+3y+2z)

Resposta

f_{xx} = -16,\cos(4x+3y+2z),; f_{yy} = -9,\cos(4x+3y+2z),; f_{zz} = -4,\cos(4x+3y+2z),; f_{xy} = -12,\cos(4x+3y+2z),; f_{xz} = -8,\cos(4x+3y+2z),; f_{yz} = -6,\cos(4x+3y+2z)

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