Determine a linearização
e a aproximação linear das funções a seguir nos pontos indicados.
b)
b)
Passo 1
Estamos buscando a linearização
e a aproximação linear da função
no ponto
. Para isso, vamos precisar das derivadas parciais de
e da fórmula de linearização em duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais usando a regra do quociente. Para
:
$$f_y(x,y)=\frac{0\cdot(x+y)-x\cdot1}{(x+y)2}=-\frac{x}{(x+y)2}.
$$
Passo 3
Agora avaliamos
e suas derivadas no ponto
:
$$f(2,1)=\frac{2}{3},\quad f_x(2,1)=\frac{1}{9},\quad f_y(2,1)=-\frac{2}{9}.
$$
Passo 4
Usamos a fórmula de linearização em torno de
:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 5
Podemos ainda simplificar a expressão de
. Reagrupando termos:
Essa é também a aproximação linear de
perto de
.
Resposta
$$L(x,y)=\frac{2}{3}+\frac{1}{9}(x-2)-\frac{2}{9}(y-1)=\frac{2}{3}+\frac{x-2y}{9}.
$$