Determine a linearização L(x, y) e a aproximação linear das funções a seguir nos pontos indicados.
b) f(x, y)=xx+y, P(2,1)

Passo 1

Estamos buscando a linearização L(x,y) e a aproximação linear da função f(x,y)=xx+y no ponto P(2,1). Para isso, vamos precisar das derivadas parciais de f e da fórmula de linearização em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais usando a regra do quociente. Para f(x,y)=dfracxx+y:
fx(x,y)=1cdot(x+y)-xcdot1(x+y)^2=y(x+y)^2,
$$f_y(x,y)=\frac{0\cdot(x+y)-x\cdot1}{(x+y)2}=-\frac{x}{(x+y)2}.
$$

Passo 3

Agora avaliamos f e suas derivadas no ponto P(2,1):
x+y=3,
$$f(2,1)=\frac{2}{3},\quad f_x(2,1)=\frac{1}{9},\quad f_y(2,1)=-\frac{2}{9}.
$$

Passo 4

Usamos a fórmula de linearização em torno de (x0,y0)=(2,1):
L(x,y)=f(2,1)+fx(2,1)(x-2)+fy(2,1)(y-1)
Substituindo os valores encontrados:
L(x,y)=23+19(x-2)-29(y-1)

Passo 5

Podemos ainda simplificar a expressão de L(x,y). Reagrupando termos:
L(x,y)=23+x-29-2y-29= 23+x-2-2y+29=23+x-2y9
Essa é também a aproximação linear de f perto de (2,1).

Resposta

$$L(x,y)=\frac{2}{3}+\frac{1}{9}(x-2)-\frac{2}{9}(y-1)=\frac{2}{3}+\frac{x-2y}{9}.
$$

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