Determine a derivada direcional de
em
na direção do vetor
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Informações dadas:
Passo 2
O que é a derivada direcional (intuição e fórmula que vamos usar).\n
Intuitivamente, a derivada direcional de em
na direção de um vetor unitário
mede a taxa de variação de
quando nos movemos em
seguindo essa direção. Se
for unitário, a fórmula prática e muito usada é:
Intuitivamente, a derivada direcional de
Aqui:
é o gradiente de
avaliado em
— um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
em
— e
é o produto escalar entre vetores.\n
Então a nossa tarefa prática é:
Então a nossa tarefa prática é:
- Calcular as derivadas parciais
e .\n - Avaliá-las em
para obter .\n - Verificar que
é unitário (ou normalizá-lo se não for).\n - Fazer o produto escalar
para obter .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.\n
Derivada parcial em relação a : tratamos
como constante e derivamos
.
Derivada parcial em relação a
Derivada parcial em relação a
: tratamos
como constante e derivamos
.
Expliquei: na primeira, usei a regra de derivação da função
que é
. Na segunda, usei que a derivada de
é
, multiplicada por
(que é constante em relação a
).
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.\n
Calculemos :
Calculemos
Calculemos
:
pois
.\n
Portanto o gradiente em é
Portanto o gradiente em
Passo 5
Verificar se
é unitário (necessário para usar a fórmula direta).\n
O vetor antes do fator é
. O seu comprimento é
O vetor antes do fator
Multiplicando por
obtemos um vetor de comprimento
. Logo
é de fato unitário. (Isso é bom: podemos usar diretamente
.)
Passo 6
Calcular o produto escalar
.\n
Escrevendo em coordenadas:
Escrevendo
Fazendo o produto escalar com
:
Ou seja, a taxa de variação de
em
na direção de
é
.