Determine a derivada direcional de f em P na direção do vetor \mathbf{u}.
f(x, y)=y^{2} \ln x, \quad P(1,2), \quad \mathbf{u}=\frac{1}{3}(2 \mathbf{i}+\sqrt{5} \mathbf{j})

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor \mathbf{u}.
Informações dadas:
f(x,y)=y^{2}\ln x,
P=(1,2),
\mathbf{u}=\frac{1}{3}\bigl(2\mathbf{i}+\sqrt{5}\mathbf{j}\bigr).

Passo 2

O que é a derivada direcional (intuição e fórmula que vamos usar).\n
Intuitivamente, a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos movemos em P seguindo essa direção. Se \mathbf{u} for unitário, a fórmula prática e muito usada é:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
Aqui:
\nabla f(P) é o gradiente de f avaliado em P — um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f em P — e \cdot é o produto escalar entre vetores.\n
Então a nossa tarefa prática é:
  1. Calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.\n
  2. Avaliá-las em P para obter \nabla f(P).\n
  3. Verificar que \mathbf{u} é unitário (ou normalizá-lo se não for).\n
  4. Fazer o produto escalar \nabla f(P)\cdot\mathbf{u} para obter D_{\mathbf{u}}f(P).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=y^{2}\ln x.\n
Derivada parcial em relação a x: tratamos y como constante e derivamos \ln x.
\frac{\partial f}{\partial x}=y^{2}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=y^{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{y^{2}}{x}.
Derivada parcial em relação a y: tratamos x como constante e derivamos y^{2}.
\frac{\partial f}{\partial y}=2y\cdot\ln x.
Expliquei: na primeira, usei a regra de derivação da função \ln x que é \dfrac{1}{x}. Na segunda, usei que a derivada de y^{2} é 2y, multiplicada por \ln x (que é constante em relação a y).

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto P=(1,2).\n
Calculemos \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=\frac{(2)^{2}}{1}=\frac{4}{1}=4.
Calculemos \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,2):
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=2\cdot 2\cdot\ln 1=4\cdot 0=0,
pois \ln 1=0.\n
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(P)=\bigl(4,\,0\bigr).

Passo 5

Verificar se \mathbf{u} é unitário (necessário para usar a fórmula direta).\n
O vetor antes do fator 1/3 é (2,\sqrt{5}). O seu comprimento é
\sqrt{2^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.
Multiplicando por 1/3 obtemos um vetor de comprimento 1. Logo \mathbf{u} é de fato unitário. (Isso é bom: podemos usar diretamente D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.)

Passo 6

Calcular o produto escalar \nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.\n
Escrevendo \mathbf{u} em coordenadas:
\mathbf{u}=\frac{1}{3}\bigl(2,\sqrt{5}\bigr)=\left(\frac{2}{3},\frac{\sqrt{5}}{3}\right).
Fazendo o produto escalar com \nabla f(P)=(4,0):
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}=4\cdot\frac{2}{3}+0\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{8}{3}.
Ou seja, a taxa de variação de f em P na direção de \mathbf{u} é \dfrac{8}{3}.

Resposta

\dfrac{8}{3}

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