Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
w=\frac{e^{x y}}{u+v^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
w=\frac{e^{x y}}{u+v^{2}}.
Ou seja, devemos encontrar \dfrac{\partial w}{\partial x}, \dfrac{\partial w}{\partial y}, \dfrac{\partial w}{\partial u} e \dfrac{\partial w}{\partial v}. As informações dadas são apenas a fórmula de w como função das quatro variáveis x, y, u e v.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Quando calculamos \dfrac{\partial w}{\partial x} tratamos y,u,v como constantes e derivamos em relação a x. O mesmo princípio vale para as outras variáveis: ao derivar por uma delas, as demais são consideradas constantes.
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  1. Derivada de e^{t} em relação a t é e^{t}. Se t depende da variável que estamos derivando, usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}e^{t(x)}=e^{t(x)}\cdot t'(x).
  2. Regra do quociente: se w=\dfrac{N}{D} com N e D dependendo da variável, então
\frac{d}{dx}\left(\frac{N}{D}\right)=\frac{N' D - N D'}{D^{2}}.
Aqui N' e D' são as derivadas de N e D em relação à variável escolhida.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial w}{\partial x}.
Identificamos N(x,y,u,v)=e^{x y} e D(u,v)=u+v^{2}. Ao derivar em relação a x temos D constante (pois não depende de x).
Derivada do numerador usando regra da cadeia: t(x)=x y (lembrando que y é tratado como constante), então
\frac{\partial}{\partial x}e^{x y}=e^{x y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x y)=e^{x y}\cdot y.
Aplicando a regra do quociente e lembrando que D' em relação a x é 0, obtemos
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{(y e^{x y})(u+v^{2})-e^{x y}\cdot 0}{(u+v^{2})^{2}}.
Simplificando (cancelando um fator u+v^{2}),
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{y e^{x y}}{u+v^{2}}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial w}{\partial y}.
Agora x,u,v são tratados como constantes. Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, derivada do numerador em relação a y é
\frac{\partial}{\partial y}e^{x y}=e^{x y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x y)=e^{x y}\cdot x.
Denominador é constante em relação a y, então
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{(x e^{x y})(u+v^{2})-e^{x y}\cdot 0}{(u+v^{2})^{2}}.
Simplificando,
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{x e^{x y}}{u+v^{2}}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial w}{\partial u}.
Aqui x,y,v são constantes. Agora o numerador N=e^{x y} é constante em relação a u, então N'=0. O denominador D=u+v^{2} tem derivada em relação a u igual a 1.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial w}{\partial u}=\frac{0\cdot (u+v^{2})-e^{x y}\cdot 1}{(u+v^{2})^{2}}=-\frac{e^{x y}}{(u+v^{2})^{2}}.
Observação intuitiva: aumentar u aumenta o denominador, então w diminui — daí o sinal negativo.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial w}{\partial v}.
Aqui x,y,u são constantes. O numerador N=e^{x y} é constante, então N'=0. O denominador D=u+v^{2} tem derivada em relação a v igual a 2v.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial w}{\partial v}=\frac{0\cdot (u+v^{2})-e^{x y}\cdot (2v)}{(u+v^{2})^{2}}=-\frac{2v\,e^{x y}}{(u+v^{2})^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=\frac{y\,e^{x y}}{u+v^{2}}
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}=\frac{x\,e^{x y}}{u+v^{2}}
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}=-\frac{e^{x y}}{(u+v^{2})^{2}}
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v}=-\frac{2v\,e^{x y}}{(u+v^{2})^{2}}

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