Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
Ou seja, devemos encontrar
,
,
e
. As informações dadas são apenas a fórmula de
como função das quatro variáveis
,
,
e
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Quando calculamos
tratamos
como constantes e derivamos em relação a
. O mesmo princípio vale para as outras variáveis: ao derivar por uma delas, as demais são consideradas constantes.
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Derivada de
em relação a é . Se depende da variável que estamos derivando, usamos a regra da cadeia: . - Regra do quociente: se
com e dependendo da variável, então
Aqui
e
são as derivadas de
e
em relação à variável escolhida.
Passo 3
Calcular
.
Identificamos
e
. Ao derivar em relação a
temos
constante (pois não depende de
).
Derivada do numerador usando regra da cadeia:
(lembrando que
é tratado como constante), então
Aplicando a regra do quociente e lembrando que
em relação a
é
, obtemos
Simplificando (cancelando um fator
),
Passo 4
Calcular
.
Agora
são tratados como constantes. Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, derivada do numerador em relação a
é
Denominador é constante em relação a
, então
Simplificando,
Passo 5
Calcular
.
Aqui
são constantes. Agora o numerador
é constante em relação a
, então
. O denominador
tem derivada em relação a
igual a
.
Aplicando a regra do quociente:
Observação intuitiva: aumentar
aumenta o denominador, então
diminui — daí o sinal negativo.
Passo 6
Calcular
.
Aqui
são constantes. O numerador
é constante, então
. O denominador
tem derivada em relação a
igual a
.
Aplicando a regra do quociente: