Determine a derivada direcional de f no ponto dado na direção indicada pelo ângulo \theta.
f(x, y)=x^{3} y^{4}-x^{4} y^{3},(1,1), \theta=\frac{\pi}{4};

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x^{3}y^{4}-x^{4}y^{3}
no ponto (1,1) na direção cujo ângulo com o eixo x é \theta=\tfrac{\pi}{4}. O conteúdo principal é a derivada direcional, que usamos via gradiente:
D_{\mathbf{u}}f(p)=\nabla f(p)\cdot \mathbf{u}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{4}-x^{4}y^{3}\bigr) =3x^{2}y^{4}-4x^{3}y^{3},
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{4}-x^{4}y^{3}\bigr) =4x^{3}y^{3}-3x^{4}y^{2}.

Passo 3

Avaliar o gradiente em (1,1).
f_{x}(1,1)=3\cdot1^{2}\cdot1^{4}-4\cdot1^{3}\cdot1^{3}=3-4=-1,
f_{y}(1,1)=4\cdot1^{3}\cdot1^{3}-3\cdot1^{4}\cdot1^{2}=4-3=1.
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\nabla f(1,1)=(-1,\,1).

Passo 4

O vetor unitário na direção \theta=\tfrac{\pi}{4} é
\mathbf{u}=(\cos\theta,\sin\theta)=\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2},\,\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot \mathbf{u} =(-1)\,\frac{\sqrt2}{2}+1\,\frac{\sqrt2}{2} =0.

Resposta

0

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