Determine o gradiente de f, calcule no ponto P e calcule a derivada direcional de f em P na direção u.
f(x, y)=x y^{2}, P=(1,2) e u=\left(\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right);

Passo 1

O enunciado dá f(x,y)=x\,y^{2}, o ponto P=(1,2) e a direção unitária u=\bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{\sqrt{5}}{3}\bigr). O conteúdo aqui é cálculo de gradiente — que usa derivadas parciais — e derivada direcional — que é o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção.

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais de f.
A derivada parcial em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y^{2},
e em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 2\,x\,y.
Logo, o gradiente vale
\nabla f(x,y) = \bigl(y^{2},\,2xy\bigr).

Passo 3

Avaliaremos o gradiente em P=(1,2):
\nabla f(1,2) = \bigl(2^{2},\,2\cdot1\cdot2\bigr) = (4,4).

Passo 4

A derivada direcional de f em P na direção u é
D_{u}f(1,2) = \nabla f(1,2)\cdot u = (4,4)\cdot\Bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{\sqrt{5}}{3}\Bigr) = 4\cdot\tfrac{2}{3} + 4\cdot\tfrac{\sqrt{5}}{3} = \frac{8 +4\sqrt{5}}{3}.

Resposta

Gradiente: \nabla f(x,y)=(y^{2},\,2xy)
No ponto P: \nabla f(1,2)=(4,4)
Derivada direcional: D_{u}f(1,2)=\displaystyle\frac{8+4\sqrt{5}}{3}

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