Prove que as funções abaixo são diferenciáveis no ponto dado e encontre a sua linearização.
f(x, y)=\frac{x+y}{x+e^{4 y}}, P=(2,1);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(x,y)=\frac{x+y}{\,x+e^{4y}\,}
é diferenciável em P=(2,1) e encontrar a sua linearização em torno de P.
Conteúdo: critério de diferenciabilidade via derivadas parciais contínuas e fórmula da linearização
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b)\,.

Passo 2

Observamos que o denominador x+e^{4y} nunca se anula, em especial em P, pois
2+e^{4\cdot1}=2+e^4>0.
Como f é quociente de funções C^\infty com denominador não nulo, suas derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança de P. Logo, pelo teorema conhecido, f é diferenciável em P.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais gerais. Escreva u(x,y)=x+y e v(x,y)=x+e^{4y}, de modo que
f=\frac{u}{v}.
Pelo quociente,
f_x = \frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2} = \frac{1\,(x+e^{4y}) - (x+y)\cdot1}{(x+e^{4y})^2} = \frac{e^{4y}-y}{(x+e^{4y})^2},
f_y = \frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2} = \frac{1\,(x+e^{4y}) - (x+y)\cdot(4e^{4y})}{(x+e^{4y})^2} = \frac{x + e^{4y} -4(x+y)e^{4y}}{(x+e^{4y})^2}.

Passo 4

Agora avaliamos em P=(2,1). Primeiro
f(2,1)=\frac{2+1}{2+e^4}=\frac{3}{2+e^4}.
Para as derivadas:
f_x(2,1) =\frac{e^{4\cdot1}-1}{(2+e^4)^2} =\frac{e^4-1}{(2+e^4)^2},
f_y(2,1) =\frac{2 + e^4 -4\cdot3\,e^4}{(2+e^4)^2} =\frac{2 -11\,e^4}{(2+e^4)^2}.

Passo 5

Usando a fórmula da linearização em P=(2,1):
L(x,y) =f(2,1)+f_x(2,1)\,(x-2)+f_y(2,1)\,(y-1).
Substituindo os valores:
L(x,y) =\frac{3}{2+e^4} +\frac{e^4-1}{(2+e^4)^2}\,(x-2) +\frac{2-11\,e^4}{(2+e^4)^2}\,(y-1).

Resposta

A função é diferenciável em P e sua linearização é
L(x,y) =\frac{3}{2+e^4} +\frac{e^4-1}{(2+e^4)^2}\,(x-2) +\frac{2-11\,e^4}{(2+e^4)^2}\,(y-1).

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