Prove que as funções abaixo são diferenciáveis no ponto dado e encontre a sua linearização.
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é diferenciável em
e encontrar a sua linearização em torno de
.
Conteúdo: critério de diferenciabilidade via derivadas parciais contínuas e fórmula da linearização
Conteúdo: critério de diferenciabilidade via derivadas parciais contínuas e fórmula da linearização
Passo 2
Observamos que o denominador
nunca se anula, em especial em
, pois
Como
é quociente de funções
com denominador não nulo, suas derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança de
. Logo, pelo teorema conhecido,
é diferenciável em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais gerais. Escreva
e
, de modo que
Pelo quociente,
Passo 4
Agora avaliamos em
. Primeiro
Para as derivadas:
Passo 5
Usando a fórmula da linearização em
:
Substituindo os valores:
Resposta
A função é diferenciável em
e sua linearização é