Determine a derivada direcional de f(x, y, z)= yz^2+2 x em P(1,-2,1) na direção de v = ( 1,1,0 ).

Passo 1

Então, galera! A gente tem que calcular a derivada direcional da função $ f(x, y, z) = yz^{2} + 2x $ no ponto $ P(1, -2, 1) $ na direção do vetor $ \mathbf{v} = (1, 1, 0) $. Para isso, vamos precisar saber sobre gradientes e como normalizar vetores para achar a direção correta. Vamos juntos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos transformar o vetor direção $ \mathbf{v} $ em um vetor unitário. Isso porque a derivada direcional requer uma direção específica, e para isso usamos vetores de comprimento 1. A fórmula para normalizar um vetor é dividir cada componente pelo módulo do vetor.
O vetor $ \mathbf{v} = (1, 1, 0) $. O módulo de $ \mathbf{v} $ é:
v
Então, o vetor unitário $ \mathbf{u} $ na direção de $ \mathbf{v} $ é:
v = (1, 1, 0)

Passo 3

Agora, precisamos achar o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Para $ f(x, y, z) = yz^{2} + 2x $:
Calculamos as derivadas parciais:
f
f(x, y, z) = yz^2 + 2x
fx = partial fpartial x = 2
Então, o gradiente é:
fy = partial fpartial y = z^2

Passo 4

Vamos avaliar o gradiente no ponto $ P(1, -2, 1) $. Substituindo $ x = 1 $, $ y = -2 $, e $ z = 1 $ na expressão do gradiente:
P(1, -2, 1)

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente no ponto $ P $ e o vetor unitário na direção desejada $ \mathbf{u} $. Então:
P
Calculando o produto escalar:
u
Podemos racionalizar o denominador se quiser:
Dvf(P) = nabla f(P) cdot u = (2, 1, -4) cdot ( 1raiz2, 1raiz2, 0 )

Resposta

A derivada direcional de $ f $ em $ P(1, -2, 1) $ na direção de $ \mathbf{v} = (1, 1, 0) $ é $ \frac{3\sqrt{2}}{2} $.

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