Determine a derivada direcional de
em
na direção de
.
Passo 1
Então, galera! A gente tem que calcular a derivada direcional da função $ f(x, y, z) = yz^{2} + 2x $ no ponto $ P(1, -2, 1) $ na direção do vetor $ \mathbf{v} = (1, 1, 0) $. Para isso, vamos precisar saber sobre gradientes e como normalizar vetores para achar a direção correta. Vamos juntos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos transformar o vetor direção $ \mathbf{v} $ em um vetor unitário. Isso porque a derivada direcional requer uma direção específica, e para isso usamos vetores de comprimento 1. A fórmula para normalizar um vetor é dividir cada componente pelo módulo do vetor.
O vetor $ \mathbf{v} = (1, 1, 0) $. O módulo de $ \mathbf{v} $ é:
Então, o vetor unitário $ \mathbf{u} $ na direção de $ \mathbf{v} $ é:
Passo 3
Agora, precisamos achar o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Para $ f(x, y, z) = yz^{2} + 2x $:
Calculamos as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Vamos avaliar o gradiente no ponto $ P(1, -2, 1) $. Substituindo $ x = 1 $, $ y = -2 $, e $ z = 1 $ na expressão do gradiente:
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente no ponto $ P $ e o vetor unitário na direção desejada $ \mathbf{u} $. Então:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador se quiser:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ em $ P(1, -2, 1) $ na direção de $ \mathbf{v} = (1, 1, 0) $ é $ \frac{3\sqrt{2}}{2} $.