Em que direção unitária a função
no ponto
tem taxa de variação máxima? Qual é a taxa de variação máxima?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir em qual direção, representada por um vetor unitário, a função $ f(x, y, z) = y z^{2} + 2x $ tem a taxa de variação máxima no ponto $ P(1, -2, 1) $. Além disso, queremos saber qual é essa taxa de variação máxima. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y, z) $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada em relação a $ x $:
- Derivada em relação a $ y $:
- Derivada em relação a $ z $:
Passo 4
Agora, substituímos as coordenadas do ponto $ P(1, -2, 1) $ nas derivadas que encontramos:
- Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
- Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
- Para $ \frac{\partial f}{\partial z} $:
Passo 5
Portanto, o gradiente da função no ponto $ P(1, -2, 1) $ é:
Passo 6
A direção de máxima taxa de variação é na direção do gradiente. Para encontrar o vetor unitário nessa direção, precisamos normalizar o gradiente. Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
Passo 7
Agora, dividimos cada componente do gradiente pela sua magnitude para obter o vetor unitário:
Passo 8
A taxa de variação máxima é igual à magnitude do gradiente, que já calculamos:
Resposta
A direção unitária na qual a função tem taxa de variação máxima no ponto $ P(1, -2, 1) $ é
e a taxa de variação máxima é $ \sqrt{21} $.