Em que direção unitária a função f(x, y, z)=y z^2+2 x no ponto P(1,-2,1) tem taxa de variação máxima? Qual é a taxa de variação máxima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir em qual direção, representada por um vetor unitário, a função $ f(x, y, z) = y z^{2} + 2x $ tem a taxa de variação máxima no ponto $ P(1, -2, 1) $. Além disso, queremos saber qual é essa taxa de variação máxima. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y, z) $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
f(x, y, z)

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada em relação a $ x $:
x
  1. Derivada em relação a $ y $:
partial fpartial x = partialpartial x (y z^2 + 2x) = 2
  1. Derivada em relação a $ z $:
y

Passo 4

Agora, substituímos as coordenadas do ponto $ P(1, -2, 1) $ nas derivadas que encontramos:
  1. Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
P(1, -2, 1)
  1. Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
partial fpartial x
  1. Para $ \frac{\partial f}{\partial z} $:
partial fpartial x = 2

Passo 5

Portanto, o gradiente da função no ponto $ P(1, -2, 1) $ é:

Passo 6

A direção de máxima taxa de variação é na direção do gradiente. Para encontrar o vetor unitário nessa direção, precisamos normalizar o gradiente. Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
| nabla f | = raiz2^2 + 1^2 + (-4)^2 = raiz4 + 1 + 16 = raiz21

Passo 7

Agora, dividimos cada componente do gradiente pela sua magnitude para obter o vetor unitário:
u = ( 2raiz21, 1raiz21, -4raiz21 )

Passo 8

A taxa de variação máxima é igual à magnitude do gradiente, que já calculamos:
| nabla f | = raiz21

Resposta

A direção unitária na qual a função tem taxa de variação máxima no ponto $ P(1, -2, 1) $ é
P(1, -2, 1)
e a taxa de variação máxima é $ \sqrt{21} $.

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