Calcule o volume do conjunto de todos os pontos (x, y, z) tais que x^2+y^2 <= z <= 4-3 x^2-3 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume do conjunto de pontos (x, y, z) que satisfazem a condição x^2+y^2 <= z <= 4-3 x^2-3 y^2. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente lidando com integração em coordenadas cilíndricas. A gente vai precisar usar integrais múltiplas e entender como configurar os limites de integração para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o volume. A inequação x^2 + y^2 <= z representa um paraboloide que se abre para cima. Já z <= 4 - 3x^2 - 3y^2 representa outro paraboloide que se abre para baixo. O volume que queremos calcular está entre essas duas superfícies.

Passo 3

Para visualizar melhor, vamos colocar essas equações em coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta, y = rsintheta e z = z. Assim, as equações ficam:
  • Paraboloide de baixo: z = r^2
  • Paraboloide de cima: z = 4 - 3r^2

Passo 4

O próximo passo é encontrar a região onde os dois paraboloides se intersectam. Para isso, igualamos as duas expressões de z:
r^2 = 4 - 3r^2
Resolvendo para r:
4r^2 = 4 r^2 = 1 r = 1
Então, a região de integração em coordenadas cilíndricas vai de r = 0 até r = 1.

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume V é dado por:
V = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^4 - 3r^2 r , dz , dr , dtheta
Aqui, r é o fator que aparece no elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a z. A integral de dz de r^2 até 4 - 3r^2 é:
integralr^2^4 - 3r^2 dz = (4 - 3r^2) - r^2 = 4 - 4r^2
Então, a integral simplifica para:
V = integral0^2pi integral0^1 (4 - 4r^2) cdot r , dr , dtheta

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a r. Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
(4 - 4r^2) cdot r = 4r - 4r^3
Então, a integral fica:
integral0^1 (4r - 4r^3) , dr
Integrando cada termo:
integral 4r , dr = 2r^2 integral 4r^3 , dr = r^4
Avaliando de 0 a 1:
2(1)^2 - (1)^4 - [2(0)^2 - (0)^4] = 2 - 1 = 1

Passo 8

Finalmente, restou integrar em relação a theta:
V = integral0^2pi 1 , dtheta = theta |0^2pi = 2pi - 0 = 2pi

Resposta

O volume do conjunto de pontos é 2pi unidades cúbicas.

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