Calcule o volume do conjunto de todos os pontos tais que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume do conjunto de pontos que satisfazem a condição . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente lidando com integração em coordenadas cilíndricas. A gente vai precisar usar integrais múltiplas e entender como configurar os limites de integração para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o volume. A inequação representa um paraboloide que se abre para cima. Já representa outro paraboloide que se abre para baixo. O volume que queremos calcular está entre essas duas superfícies.
Passo 3
Para visualizar melhor, vamos colocar essas equações em coordenadas cilíndricas, onde , e . Assim, as equações ficam:
Paraboloide de baixo:
Paraboloide de cima:
Passo 4
O próximo passo é encontrar a região onde os dois paraboloides se intersectam. Para isso, igualamos as duas expressões de :
Resolvendo para :
Então, a região de integração em coordenadas cilíndricas vai de até .
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:
Aqui, é o fator que aparece no elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a . A integral de de até é:
Então, a integral simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a . Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Integrando cada termo:
Avaliando de 0 a 1:
Passo 8
Finalmente, restou integrar em relação a :
Resposta
O volume do conjunto de pontos é 2pi unidades cúbicas.