Determine a derivada direcional da função dada na direção \vec{v} :
z=2 x^{2}+5 y^{2}, \overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}\right), \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right).

Passo 1

O enunciado dá a função
z = 2x^{2} + 5y^{2}
e a direção
\overrightarrow{v} = \bigl(\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr), \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr).
O conteúdo é derivada direcional, que se obtém projetando o gradiente de z sobre o vetor direção unitário correspondente.

Passo 2

Verificamos que \overrightarrow{v} é unitário, pois
\bigl\lVert \overrightarrow{v}\bigr\rVert = \sqrt{\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + \sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)} = \sqrt{0 + 1} = 1.

Passo 3

Calculamos o gradiente de z:
\nabla z = \Bigl(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\Bigr) = \bigl(4x,\;10y\bigr).

Passo 4

A derivada direcional de z na direção de \overrightarrow{v} é o produto escalar
D_{\overrightarrow{v}}z = \nabla z \cdot \overrightarrow{v} = (4x,\,10y)\cdot\bigl(\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr),\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr) = 4x\cdot0 + 10y\cdot1 = 10y.

Resposta

D_{\overrightarrow{v}}z(x,y) = 10y.

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