Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule: \frac{\partial z}{\partial t}, \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial w}{\partial t}, \frac{\partial w}{\partial s} e \frac{\partial w}{\partial r}.
z=x^{2} y^{-2}, x=s^{2}-t, y=2 s t

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a regra da cadeia em duas etapas. Primeiro, temos
z = f(x,y) = x^2\,y^{-2},
com
x = s^2 - t, \qquad y = 2\,s\,t.
Devemos calcular \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial z}{\partial t}.
Em seguida, definimos
w = f(x,y,z)
genericamente, e queremos \frac{\partial w}{\partial s}, \frac{\partial w}{\partial t} e \frac{\partial w}{\partial r}.

Passo 2

Vamos primeiro obter as derivadas de x e y em relação a s e t:
\frac{\partial x}{\partial s} = 2s, \qquad \frac{\partial x}{\partial t} = -1,
\frac{\partial y}{\partial s} = 2t, \qquad \frac{\partial y}{\partial t} = 2s.

Passo 3

Agora as derivadas parciais de z(x,y)=x^2\,y^{-2} em relação a x e a y:
\frac{\partial z}{\partial x} =2x\,y^{-2}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} =-2\,x^2\,y^{-3}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para z(s,t):
\frac{\partial z}{\partial s} =\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} +\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s} =2x\,y^{-2}\,(2s) +(-2\,x^2\,y^{-3})\,(2t),
\frac{\partial z}{\partial t} =\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t} +\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t} =2x\,y^{-2}\,(-1) +(-2\,x^2\,y^{-3})\,(2s).
Substituindo x=s^2-t e y=2st e simplificando, chega-se a
\frac{\partial z}{\partial s} =\frac{(s^2 - t)\,(s^2 + t)}{2\,s^3\,t^2}, \qquad \frac{\partial z}{\partial t} =-\,\frac{s^2 - t}{2\,t^3}.

Passo 5

Para w=f(x,y,z) usamos regra da cadeia em cada variável externa s,t,r. Como x e y só dependem de s,t e não de r, todas as derivadas de x,y,z em relação a r são zero. Denotando \displaystyle f_x=\frac{\partial w}{\partial x}, f_y=\frac{\partial w}{\partial y}, f_z=\frac{\partial w}{\partial z}, temos:
\frac{\partial w}{\partial s} =f_x\,(2s) +f_y\,(2t) +f_z\, \frac{(s^2 - t)\,(s^2 + t)}{2\,s^3\,t^2},
\frac{\partial w}{\partial t} =f_x\,(-1) +f_y\,(2s) +f_z\, \Bigl(-\frac{s^2 - t}{2\,t^3}\Bigr),
\frac{\partial w}{\partial r} =0.

Resposta

\boxed{ \frac{\partial z}{\partial s} =\frac{(s^2 - t)\,(s^2 + t)}{2\,s^3\,t^2}, \quad \frac{\partial z}{\partial t} =-\,\frac{s^2 - t}{2\,t^3} }
\boxed{ \frac{\partial w}{\partial s} =2s\,f_x + 2t\,f_y + \frac{(s^2 - t)\,(s^2 + t)}{2\,s^3\,t^2}\,f_z, }
\boxed{ \frac{\partial w}{\partial t} =-\,f_x + 2s\,f_y - \frac{s^2 - t}{2\,t^3}\,f_z, \quad \frac{\partial w}{\partial r} =0. }

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