determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado e apresente um vetor normal ao plano determinado:
z=f(x, y)=4 x^{2}-y^{2}+2 y, \quad P=(-1,2, f(-1,2)) . \quad( Resp: 8 x+2 y+z=0, \vec{n}=(8,2,1))

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A função z=f(x,y)=4x^{2}-y^{2}+2y.
  • O ponto P=(-1,2,f(-1,2)), isto é, as coordenadas em x e y do ponto onde o plano tangente deve ser encontrado e a coordenada z dada por f(-1,2).
O que o problema pede:
  • Determinar uma equação do plano tangente à superfície no ponto P.
  • Apresentar um vetor normal ao plano determinado.

Passo 2

Primeiro calculemos a coordenada z do ponto P substituindo (x,y)=(-1,2) em f. Substituição passo a passo:
f(-1,2)=4(-1)^{2}- (2)^{2}+2\cdot 2.
Calcule cada termo:
4(-1)^{2}=4\cdot 1=4, \qquad (2)^{2}=4, \qquad 2\cdot 2=4.
Agora some e subtraia conforme a expressão:
f(-1,2)=4-4+4=4.
Portanto o ponto concreto é P=(-1,2,4).

Passo 3

Agora vamos obter as derivadas parciais de f. Lembrete didático: a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} mede a taxa de variação de f quando apenas x varia e y fica fixo; analogamente para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Como f(x,y)=4x^{2}-y^{2}+2y, derivamos termo a termo:
  • Para x: a derivada de 4x^{2} em relação a x é 8x. Os outros termos não dependem de x, então sua derivada parcial em x é zero. Assim
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=8x.
  • Para y: a derivada de -y^{2} em relação a y é -2y; a derivada de 2y é 2. O termo 4x^{2} não depende de y. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2y+2.

Passo 4

Avalie as derivadas parciais no ponto (x_{0},y_{0})=(-1,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(-1,2)=8\cdot(-1)=-8, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(-1,2)=-2\cdot 2+2=-4+2=-2.

Passo 5

Agora escrevemos a fórmula do plano tangente para superfícies dadas por z=f(x,y). Lembrete didático: a aproximação linear (plano tangente) de f em torno de (x_{0},y_{0}) é
z-z_{0}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}),
onde (x_{0},y_{0},z_{0}) é o ponto de tangência com z_{0}=f(x_{0},y_{0}). Esta fórmula vem da expansão linear (diferencial total) de f:
\mathrm{d}z \approx f_{x}\,\mathrm{d}x + f_{y}\,\mathrm{d}y.

Passo 6

Substituímos os valores encontrados: x_{0}=-1, y_{0}=2, z_{0}=4, f_{x}(-1,2)=-8, f_{y}(-1,2)=-2. Aplicando a fórmula:
z-4 = (-8)(x-(-1))+(-2)(y-2).
Simplifique os sinais e desenvolva:
z-4 = -8(x+1)-2(y-2) = -8x-8 -2y +4.
Some os termos constantes no lado direito:
z-4 = -8x -2y -4.
Agora some 4 em ambos os lados para isolar z:
z = -8x -2y.
Para escrever em forma padrão ax+by+cz+d=0, traga todos os termos para um lado:
8x + 2y + z = 0.

Passo 7

Explicação sobre o vetor normal: para um plano com equação ax+by+cz+d=0, o vetor (a,b,c) é normal ao plano (ou seja, perpendicular a qualquer vetor tangente do plano). A partir da equação encontrada 8x+2y+z=0, os coeficientes fornecem diretamente um vetor normal:
\vec{n}=(8,2,1).
Outra forma de ver isso em superfícies z=f(x,y) é que ( -f_{x}, -f_{y}, 1) é um vetor normal; substituindo f_{x}(-1,2)=-8 e f_{y}(-1,2)=-2 obtemos (8,2,1), que coincide com os coeficientes da equação do plano.

Passo 8

Verificação rápida (não necessária na prova, mas boa prática): substitua o ponto P=(-1,2,4) na equação 8x+2y+z=0:
8(-1)+2\cdot 2 + 4 = -8 +4 +4 =0,
logo o ponto pertence ao plano, como deve ser.

Resposta

8x+2y+z=0
\vec{n}=(8,2,1)

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