determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado e apresente um vetor normal ao plano determinado:
Resp:
,
Passo 1
O enunciado fornece:
- A função
. - O ponto
, isto é, as coordenadas em e do ponto onde o plano tangente deve ser encontrado e a coordenada dada por .
O que o problema pede:
- Determinar uma equação do plano tangente à superfície no ponto
. - Apresentar um vetor normal ao plano determinado.
Passo 2
Primeiro calculemos a coordenada
do ponto
substituindo
em
. Substituição passo a passo:
Calcule cada termo:
Agora some e subtraia conforme a expressão:
Portanto o ponto concreto é
.
Passo 3
Agora vamos obter as derivadas parciais de
. Lembrete didático: a derivada parcial
mede a taxa de variação de
quando apenas
varia e
fica fixo; analogamente para
.
Como
, derivamos termo a termo:
- Para
: a derivada de em relação a é . Os outros termos não dependem de , então sua derivada parcial em é zero. Assim
- Para
: a derivada de em relação a é ; a derivada de é . O termo não depende de . Assim
Passo 4
Avalie as derivadas parciais no ponto
:
Passo 5
Agora escrevemos a fórmula do plano tangente para superfícies dadas por
. Lembrete didático: a aproximação linear (plano tangente) de
em torno de
é
onde
é o ponto de tangência com
. Esta fórmula vem da expansão linear (diferencial total) de
:
Passo 6
Substituímos os valores encontrados:
,
,
,
,
. Aplicando a fórmula:
Simplifique os sinais e desenvolva:
Some os termos constantes no lado direito:
Agora some
em ambos os lados para isolar
:
Para escrever em forma padrão
, traga todos os termos para um lado:
Passo 7
Explicação sobre o vetor normal: para um plano com equação
, o vetor
é normal ao plano (ou seja, perpendicular a qualquer vetor tangente do plano). A partir da equação encontrada
, os coeficientes fornecem diretamente um vetor normal:
Outra forma de ver isso em superfícies
é que
é um vetor normal; substituindo
e
obtemos
, que coincide com os coeficientes da equação do plano.
Passo 8
Verificação rápida (não necessária na prova, mas boa prática): substitua o ponto
na equação
:
logo o ponto pertence ao plano, como deve ser.