Determine a derivada direcional da função
no ponto dado e na direção e sentido do vetor
.
c)
c)
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
. - O ponto
. - O vetor de direção e sentido
, isto é .
O que é pedido:
- Determinar a derivada direcional de
no ponto na direção e sentido do vetor .
Passo 2
Conceito e escolha do método (passo-a-passo didático).
- A derivada direcional de
em na direção do vetor unitário é, por definição (quando é diferenciável em ),
- Aqui é conveniente usar esse método porque
é uma razão de funções polinomiais e o denominador é diferente de zero em (verificação abaixo), logo é diferenciável em e a fórmula acima vale. Isso evita calcular o limite diretamente e economiza tempo na prova. - Verificação rápida: em
tem-se , portanto tudo OK.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais (aula rápida sobre como fazer).
- Escrever
como . Para derivar em relação a e usamos a regra da cadeia e a regra do quociente implicitamente; em relação a tratamos como constantes. - Derivadas parciais:
- Explicando em palavras: para
e diferenciou-se a parte multiplicada por ; para o aparece linearmente no numerador, então a derivada é .
Passo 4
Avaliar o gradiente em
.
- Primeiro calcule
em : . - Substituindo
e nas derivadas parciais:
- Portanto o gradiente em
é
Passo 5
Obter o vetor unitário na direção de
.
- O vetor dado é
. - Norma de
:
- O vetor unitário na direção e sentido de
é
Passo 6
Calcular a derivada direcional fazendo o produto escalar.
- Usar
. - Computar componente a componente:
- Calcular cada termo:
- Somando:
- Interpretação curta: como
, isso indica que, seguindo o sentido de a partir de , a função aumenta inicialmente com taxa por unidade de comprimento na direção unitária.