Determine a derivada direcional da função f no ponto dado e na direção e sentido do vetor \vec{v}.
c) f(x, y, z)=\frac{z}{3 x+2 y}, \quad P=(0,1,2), \quad \vec{v}=-\vec{i}+2 \vec{j}+2 \vec{k} .

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função f(x,y,z)=\dfrac{z}{3x+2y}.
  • O ponto P=(0,1,2).
  • O vetor de direção e sentido \vec{v}=-\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}, isto é \vec{v}=(-1,2,2).
O que é pedido:
  • Determinar a derivada direcional de f no ponto P na direção e sentido do vetor \vec{v}.

Passo 2

Conceito e escolha do método (passo-a-passo didático).
  • A derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \mathbf{u} é, por definição (quando f é diferenciável em P),
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
  • Aqui é conveniente usar esse método porque f é uma razão de funções polinomiais e o denominador 3x+2y é diferente de zero em P (verificação abaixo), logo f é diferenciável em P e a fórmula acima vale. Isso evita calcular o limite diretamente e economiza tempo na prova.
  • Verificação rápida: em P tem-se 3x+2y=3\cdot0+2\cdot1=2\neq0, portanto tudo OK.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais (aula rápida sobre como fazer).
  • Escrever f como f(x,y,z)=z\cdot(3x+2y)^{-1}. Para derivar em relação a x e y usamos a regra da cadeia e a regra do quociente implicitamente; em relação a z tratamos x,y como constantes.
  • Derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = z\cdot\frac{d}{dx}\bigl( (3x+2y)^{-1}\bigr) = z\cdot(-1)(3x+2y)^{-2}\cdot 3 = -\frac{3z}{(3x+2y)^2}.
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) = z\cdot(-1)(3x+2y)^{-2}\cdot 2 = -\frac{2z}{(3x+2y)^2}.
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) = \frac{1}{3x+2y}.
  • Explicando em palavras: para \partial f/\partial x e \partial f/\partial y diferenciou-se a parte (3x+2y)^{-1} multiplicada por z; para \partial f/\partial z o z aparece linearmente no numerador, então a derivada é 1/(3x+2y).

Passo 4

Avaliar o gradiente em P.
  • Primeiro calcule 3x+2y em P: 3\cdot0+2\cdot1=2.
  • Substituindo z=2 e 3x+2y=2 nas derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}(P) = -\frac{3\cdot 2}{2^2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}.
\frac{\partial f}{\partial y}(P) = -\frac{2\cdot 2}{2^2} = -\frac{4}{4} = -1.
\frac{\partial f}{\partial z}(P) = \frac{1}{2}.
  • Portanto o gradiente em P é
\displaystyle \nabla f(P)=\left(-\frac{3}{2},\\\ -1,\\ \frac{1}{2}\right).

Passo 5

Obter o vetor unitário na direção de \vec{v}.
  • O vetor dado é \vec{v}=(-1,2,2).
  • Norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
  • O vetor unitário na direção e sentido de \vec{v} é
\mathbf{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(-\frac{1}{3},\\ \frac{2}{3},\\ \frac{2}{3}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional fazendo o produto escalar.
  • Usar D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
  • Computar componente a componente:
\nabla f(P)\cdot\mathbf{u} = \left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right) +(-1)\left(\frac{2}{3}\right) +\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right).
  • Calcular cada termo:
\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}, \quad (-1)\left(\frac{2}{3}\right)=-\frac{2}{3}, \quad \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}.
  • Somando:
\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}.
  • Interpretação curta: como D_{\mathbf{u}}f(P)=\dfrac{1}{6}>0, isso indica que, seguindo o sentido de \vec{v} a partir de P, a função f aumenta inicialmente com taxa \tfrac{1}{6} por unidade de comprimento na direção unitária.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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