Seja R=R(u, v, w) uma função diferenciável, em que u=u(x, y), v=v(x, y) e w=w(x, y) são também funções diferenciáveis.
Seja R(u, v, w)=ln (u^2+v^2+w^2), em que u=3 x-y, v=2 x-y e w=x^2+y^2. Utilize a Regra da Cadeia encontrada no item (a) para determinar partial Rpartial x e partial Rpartial y quando x=1 e y=0.

Passo 1

O enunciado define
R(u,v,w)=lnl(u^2+v^2+w^2r),
com
u=3x-y, v=2x-y, w=x^2+y^2,
e pede as derivadas parciais partial Rpartial x e partial Rpartial y em (x,y)=(1,0).
Conteúdo: Regra da Cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Pela Regra da Cadeia para funções compostas de três variáveis, temos
partial Rpartial x =Ru,ux+Rv,vx+Rw,wx, partial Rpartial y =Ru,uy+Rv,vy+Rw,wy

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de R em relação a u,v,w:
Ru=partialpartial uln(u^2+v^2+w^2) =2uu^2+v^2+w^2,
Rv=2vu^2+v^2+w^2, Rw=2wu^2+v^2+w^2

Passo 4

Calculamos as derivadas de u,v,w em relação a x e y:
ux=3, vx=2, wx=2x,
uy=-1, vy=-1, wy=2y

Passo 5

Avaliaremos tudo em (x,y)=(1,0). Então
u(1,0)=3cdot1-0=3, v(1,0)=2cdot1-0=2, w(1,0)=1^2+0^2=1,
e
u^2+v^2+w^2=3^2+2^2+1^2=9+4+1=14
Além disso, em (1,0) temos
wx(1,0)=2cdot1=2, wy(1,0)=2cdot0=0

Passo 6

Substituindo em partial Rpartial x:
partial Rpartial x(1,0) = 2u14gr|u=3cdot3 + 2v14gr|v=2cdot2 + 2w14gr|w=1cdot2 = 614cdot3 + 414cdot2 + 214cdot2
Calculando:
6cdot3+4cdot2+2cdot214 =18+8+414 =3014 =157

Passo 7

Substituindo em partial Rpartial y:
partial Rpartial y(1,0) = 2u14gr|u=3cdot(-1) + 2v14gr|v=2cdot(-1) + 2w14gr|w=1cdot0 = -614-414+0 =-1014 =-57

Resposta

partial Rpartial x(1,0)=157, partial Rpartial y(1,0)=-57

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