Determine a derivada direcional da funçăo no ponto dado na direção do vetor \mathbf{v}.
14. g(u, v)=u^{2} e^{-2}, \quad(3,0), \quad \mathbf{v}=3 \mathbf{i}+4 \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
g(u,v)=u^{2}e^{-2}
o ponto (u,v)=(3,0) e o vetor de direção \mathbf v=3\mathbf i+4\mathbf j.
Queremos a derivada direcional de g nesse ponto na direção de \mathbf v. Para isso vamos usar que
D_{\mathbf v}g(3,0)=\nabla g(3,0)\cdot \mathbf u,
onde \nabla g é o gradiente de g e \mathbf u é o vetor unitário na direção de \mathbf v.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de g: \dfrac{\partial g}{\partial u} e \dfrac{\partial g}{\partial v}.
Como g(u,v)=u^{2}e^{-2} independe de v, temos
\frac{\partial g}{\partial u}(u,v)=2u\,e^{-2}, \qquad \frac{\partial g}{\partial v}(u,v)=0.

Passo 3

Avaliar o gradiente em (3,0):
\nabla g(3,0) =\bigl(2\cdot 3\,e^{-2},\,0\bigr) =(6e^{-2},\,0).

Passo 4

Determinar o vetor unitário \mathbf u na direção de \mathbf v=(3,4):
\|\mathbf v\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5, \qquad \mathbf u=\frac{1}{5}(3,4)=\Bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\Bigr).

Passo 5

Calcular a derivada direcional como produto escalar:
D_{\mathbf v}g(3,0) =\nabla g(3,0)\cdot \mathbf u =(6e^{-2},0)\cdot\Bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\Bigr) =6e^{-2}\cdot\tfrac{3}{5} =\frac{18}{5}e^{-2}.

Resposta

\displaystyle \frac{18}{5}e^{-2}

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