Um fabricante modelou sua função P da produçăo anual (o valor de toda essa produção em milhões de dólares) como uma função Cobb-Douglas
P(L, K)=1,47 L^{0,65} K^{2,35}
onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o capital investido (em milhöes de dólares). Suponha que quando L=30 e K=8, a força de trabalho esteja decrescendo em uma taxa de 2000 horas trabalhadas por ano e o capital esteja aumentando em uma taxa de \$ 500.000 por ano. Encontre a taxa de variaçăo da produçăo.

Passo 1

O enunciado apresenta a função Cobb–Douglas da produção anual (em milhões de dólares)
P(L,K) = 1,47\,L^{0,65}\,K^{2,35}
onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o capital investido (em milhões de dólares). Queremos a taxa de variação \frac{dP}{dt} quando L=30, K=8, \frac{dL}{dt}=-2000 horas/ano e \frac{dK}{dt}=500\,000$/ano. O conteúdo principal envolve derivadas parciais e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Usamos a fórmula da derivada total:
\frac{dP}{dt} = \frac{\partial P}{\partial L}\,\frac{dL}{dt} + \frac{\partial P}{\partial K}\,\frac{dK}{dt}.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial L} =1,47\cdot0,65\,L^{0,65-1}\,K^{2,35} =0,9555\,L^{-0,35}\,K^{2,35},
\frac{\partial P}{\partial K} =1,47\cdot2,35\,L^{0,65}\,K^{2,35-1} =3,4545\,L^{0,65}\,K^{1,35}.

Passo 3

Convertendo as taxas para as mesmas unidades: \frac{dL}{dt}=-2000 horas/ano =-2 (milhares de horas)/ano \frac{dK}{dt}=500\,000$/ano =0{,}5 (milhões de $)/ano
Agora avaliamos as parciais em L=30, K=8:
\frac{\partial P}{\partial L}\Big|_{(30,8)} =0,9555\cdot30^{-0,35}\cdot8^{2,35} \approx0,9555\cdot0,304\cdot132,53 \approx38,44 \quad(\text{milhões \$/ (milh.\,h)}),õ
\frac{\partial P}{\partial K}\Big|_{(30,8)} =3,4545\cdot30^{0,65}\cdot8^{1,35} \approx3,4545\cdot9,122\cdot16,56 \approx521,8 \quad(\text{milhões \$/ (milhões \$)}).õõ

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dP}{dt} =38,44\cdot(-2)+521,8\cdot0,5 =-76,88+260,9 \approx184,0 \quad\bigl(\text{milhões de \$ por ano}\bigr).õ

Resposta

A produção está aumentando a uma taxa de aproximadamente 184 milhões de dólares por ano.

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