Um fabricante modelou sua função P da produçăo anual (o valor de toda essa produção em milhões de dólares) como uma função Cobb-Douglas
P(L, K)=1,47 L^{0,65} K^{2,35}
onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o capital investido (em milhöes de dólares). Suponha que quando L=30 e K=8, a força de trabalho esteja decrescendo em uma taxa de 2000 horas trabalhadas por ano e o capital esteja aumentando em uma taxa de \$ 500.000 por ano. Encontre a taxa de variaçăo da produçăo.
Passo 1
O enunciado apresenta a função Cobb–Douglas da produção anual (em milhões de dólares)
P(L,K) = 1,47\,L^{0,65}\,K^{2,35}
onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o capital investido (em milhões de dólares). Queremos a taxa de variação \frac{dP}{dt} quando L=30, K=8, \frac{dL}{dt}=-2000 horas/ano e \frac{dK}{dt}=500\,000$/ano. O conteúdo principal envolve derivadas parciais e a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Convertendo as taxas para as mesmas unidades: \frac{dL}{dt}=-2000 horas/ano =-2 (milhares de horas)/ano \frac{dK}{dt}=500\,000$/ano =0{,}5 (milhões de $)/ano