Determine a derivada direcional da funçăo no ponto dado na direção do vetor \mathbf{v}.
17. f(x, y, z)=x e^{3}+y e^{2}+z e^{5}, \quad(0,0,0), \quad \mathbf{v}=\langle 5,1,-2\rangle

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x e^{3}+y e^{2}+z e^{5}
e pede a derivada direcional de f no ponto (0,0,0) na direção do vetor \mathbf{v}=\langle5,1,-2\rangle. Para isso vamos usar dois ingredientes: o gradiente de f e o vetor unitário na direção de \mathbf{v}.

Passo 2

Primeiro, calculamos o gradiente de f, que é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z) = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr) = \bigl(e^{3},\,e^{2},\,e^{5}\bigr).
Como f é linear em (x,y,z), esse gradiente vale o mesmo em todo ponto, em particular em (0,0,0).

Passo 3

Agora encontramos o vetor unitário \mathbf{u} na direção de \mathbf{v}. Primeiro a norma de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\| =\sqrt{5^{2}+1^{2}+(-2)^{2}} =\sqrt{25+1+4} =\sqrt{30}.
Logo
\mathbf{u} =\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} =\frac{1}{\sqrt{30}}\langle5,1,-2\rangle.

Passo 4

A derivada direcional de f na direção de \mathbf{u} é o produto escalar entre \nabla f e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(0,0,0) =\nabla f(0,0,0)\cdot\mathbf{u} =\bigl(e^{3},e^{2},e^{5}\bigr)\cdot\frac{1}{\sqrt{30}}\langle5,1,-2\rangle =\frac{5e^{3}+e^{2}-2e^{5}}{\sqrt{30}}.

Resposta

D_{\mathbf{v}}f(0,0,0) =\frac{5e^{3}+e^{2}-2e^{5}}{\sqrt{30}}.

Exercícios relacionados