Determine a derivada direcional máxima de
em
e encontre a direção e sentido em que ela ocorre.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional máxima de
em
e a direção em que ela ocorre. O conteúdo é derivada direcional e gradiente: sabemos que a maior derivada direcional em um ponto é o comprimento do gradiente nesse ponto, e ocorre na direção do próprio gradiente (unidade).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
pelo quociente:
Passo 3
Calculamos primeiro as derivadas de
e
e avaliamos em
:
Em
temos
Passo 4
Substituindo em cada parcial:
Logo o gradiente é
Passo 5
O módulo do gradiente dá a derivada direcional máxima:
A direção (vetor unitário) é
Resposta
A derivada direcional máxima em
é
e ocorre na direção do vetor unitário
.