Determine a derivada direcional máxima de f em P e encontre a direção e sentido em que ela ocorre.
(d) f(x, y)=x^2 y-x y^2x^2+y^2, P=(1,-1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional máxima de f em P=(1,-1) e a direção em que ela ocorre. O conteúdo é derivada direcional e gradiente: sabemos que a maior derivada direcional em um ponto é o comprimento do gradiente nesse ponto, e ocorre na direção do próprio gradiente (unidade).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=N(x,y)D(x,y), N(x,y)=x^2y - xy^2,;D(x,y)=x^2+y^2
pelo quociente:
partial fpartial x =D,partial Npartial x-N,partial Dpartial xD^2, partial fpartial y =D,partial Npartial y-N,partial Dpartial yD^2

Passo 3

Calculamos primeiro as derivadas de N e D e avaliamos em (1,-1):
partial Npartial x=2xy-y^2, partial Npartial y=x^2-2xy, partial Dpartial x=2x, partial Dpartial y=2y
Em P=(1,-1) temos
!N=-2,;D=2,;partialxN=-3,;partialyN=3,;partialxD=2,;partialyD=-2

Passo 4

Substituindo em cada parcial:
partial fpartial x(1,-1) =2cdot(-3)-(-2)cdot22^2 =-6+44=-tfrac12, partial fpartial y(1,-1) =2cdot3-(-2)cdot(-2)4 =6-44=tfrac12
Logo o gradiente é
nabla f(1,-1)=l(-tfrac12,;tfrac12r)

Passo 5

O módulo do gradiente dá a derivada direcional máxima:
|nabla f(1,-1)| =raizl(-tfrac12r)^2+l(tfrac12r)^2 =raiztfrac14+tfrac14 =1raiz2
A direção (vetor unitário) é
u =nabla f(1,-1)|nabla f(1,-1)| =l(-tfrac12,tfrac12r)/tfrac1raiz2 =l(-tfracraiz22,;tfracraiz22r)

Resposta

A derivada direcional máxima em P é 1raiz2 e ocorre na direção do vetor unitário l(-tfracraiz22,,tfracraiz22r).

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