Calcule a primeira derivada f^{\prime}(z) da função abaixo:
f(z)=\left(z^{2}-i\right) \cdot \sin (z)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede-se a primeira derivada f'(z) da função.
  • A função dada é f(z)=\left(z^{2}-i\right)\cdot\sin(z).
  • Informação importante que vem do enunciado:
    • z é a variável (pode ser complexa, mas as regras de diferenciação que usaremos valem igualmente).
    • i é uma constante (a unidade imaginária).
  • Objetivo claro: calcular \;f'(z)\;, ou seja a derivada em relação a z.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pressupor que já saiba):
  • Regra do produto: se \;u(z)\; e \;v(z)\; são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
( u\cdot v )' = u'\cdot v + u\cdot v'.
Isto significa: derive a primeira e multiplique pela segunda, e some a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
  • Regra da potência (caso particular útil): para \;u(z)=z^{n}\; com n inteiro positivo, vale
\frac{d}{dz} z^{n} = n\,z^{n-1}.
No nosso caso, isso dá direto para z^{2}.
  • Derivada de uma constante: se c é constante ( c não depende de z), então
\frac{d}{dz} c = 0.
Assim \frac{d}{dz} i = 0.
  • Derivada da função seno (também válida para variável complexa):
\frac{d}{dz}\sin(z)=\cos(z).
Agora sabemos que basta aplicar a regra do produto à função dada, sabendo derivadas de cada fator.

Passo 3

Identificar os fatores do produto e calcular as derivadas parciais:
  • Tome u(z)=z^{2}-i. Aplicando a regra da potência e da constante:
u'(z)=\frac{d}{dz}\big(z^{2}\big)-\frac{d}{dz}i = 2z - 0 = 2z.
Expliquei: derive z^{2} usando n=2 e zera a constante i.

Passo 4

Calcular a derivada do segundo fator:
  • Tome v(z)=\sin(z). Pela regra da derivada do seno:
v'(z)=\cos(z).

Passo 5

Aplicar a regra do produto (u\cdot v)' = u'v + uv':
  • Substituindo u,u',v,v' que calculamos:
f'(z)=u'(z)\,v(z)+u(z)\,v'(z).
f'(z)=\big(2z\big)\cdot\sin(z)+\big(z^{2}-i\big)\cdot\cos(z).

Passo 6

Comentário final sobre forma e possíveis simplificações:
  • A expressão já está numa forma simples e direta para uso em prova. Se quiser, pode escrever agrupando termos:
f'(z)=2z\sin(z)+(z^{2}-i)\cos(z).
  • Não há fator comum óbvio que simplifique muito mais sem introduzir formas menos claras, então a forma acima é recomendada.

Resposta

f'(z)=2z\sin(z)+(z^{2}-i)\cos(z)

Exercícios relacionados