Calcule a primeira derivada
da função abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede-se a primeira derivada
da função. - A função dada é
- Informação importante que vem do enunciado:
-
é a variável (pode ser complexa, mas as regras de diferenciação que usaremos valem igualmente). -
é uma constante (a unidade imaginária).
-
- Objetivo claro: calcular
, ou seja a derivada em relação a .
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pressupor que já saiba):
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
Isto significa: derive a primeira e multiplique pela segunda, e some a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
- Regra da potência (caso particular útil): para
com inteiro positivo, vale
No nosso caso, isso dá direto para
.
- Derivada de uma constante: se
é constante ( não depende de ), então
Assim
.
- Derivada da função seno (também válida para variável complexa):
Agora sabemos que basta aplicar a regra do produto à função dada, sabendo derivadas de cada fator.
Passo 3
Identificar os fatores do produto e calcular as derivadas parciais:
- Tome
. Aplicando a regra da potência e da constante:
Expliquei: derive
usando
e zera a constante
.
Passo 4
Calcular a derivada do segundo fator:
- Tome
. Pela regra da derivada do seno:
Passo 5
Aplicar a regra do produto
:
- Substituindo
que calculamos:
Passo 6
Comentário final sobre forma e possíveis simplificações:
- A expressão já está numa forma simples e direta para uso em prova. Se quiser, pode escrever agrupando termos:
- Não há fator comum óbvio que simplifique muito mais sem introduzir formas menos claras, então a forma acima é recomendada.