Determine a derivada.
$f(t)=4 t^{5}-5 t^{2}+7$

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função

f(t)=4t^{5}-5t^{2}+7.

O conteúdo aqui é a regra do poder (ou regra de potência) para derivação de polinômios: se

g(t)=a\,t^{n}

, então

g'(t)=a\,n\,t^{n-1}.

Passo 2

Separamos a função em termos que são soma de monômios mais constante:

f(t)=\underbrace{4t^{5}}_{(A)}\;+\;\underbrace{(-5t^{2})}_{(B)}\;+\;\underbrace{7}_{\text{(C)}}.

Passo 3

Aplicamos a regra do poder a cada termo:
(A) Para

4t^{5}

:

\frac{d}{dt}(4t^{5})=4\cdot5\,t^{5-1}=20t^{4}.

(B) Para

-5t^{2}

:

\frac{d}{dt}(-5t^{2})=-5\cdot2\,t^{2-1}=-10t.

(C) Para a constante

7

:

\frac{d}{dt}(7)=0.

Passo 4

Somando as derivadas parciais, obtemos

f'(t)=20t^{4}-10t+0

e, portanto,

f'(t)=20t^{4}-10t.

Resposta

f'(t)=20t^{4}-10t.

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