Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x+1)}{e^{x}}\

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Foi dada a função f definida por f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x+1)}{e^{x}}.
  • A pergunta é: determinar a derivada f'(x), utilizando a “regra da cadeia”.
  • Informação útil: há funções compostas dentro da seno (a parte x+1) e na exponencial se reescrevermos a divisão como multiplicação por uma potência (veremos isso nos próximos passos).

Passo 2

Escolha do método (sem pular etapas):
  • Vou usar uma reescrita algébrica para simplificar a diferenciação: transformar a divisão em multiplicação por potência. Assim
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x+1)}{e^{x}} = e^{-x}\,\operatorname{sen}(x+1).
  • A partir daí aplico a regra do produto para derivar e^{-x}\cdot\operatorname{sen}(x+1).
  • Em cada diferença de função composta dentro desse cálculo (por exemplo e^{-x} e \operatorname{sen}(x+1)) aplico a regra da cadeia para obter as derivadas corretas. Esse caminho é direto e usa a regra da cadeia exatamente nos pontos onde o enunciado pediu.

Passo 3

Lembrete e explicação da regra da cadeia (a “aula” que você pediu):
  • Regra da cadeia (forma verbal): se uma função h é composta, isto é, h(x)=g(u(x)), então a derivada de h é o produto da derivada de g avaliada em u(x) pela derivada de u(x).
  • Regra da cadeia (fórmula):
\text{se }h(x)=g(u(x))\quad\Rightarrow\quad h'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
  • Significado das letras:
    • u(x) é a função interna (o “argumento” que está dentro de outra).
    • g é a função externa (a que vê u(x) como entrada).
    • g'(u(x)) significa derivar g normalmente e depois substituir u(x).
    • Multiplica-se pelo u'(x) (a derivada da função interna).
  • Exemplo rápido para fixar: se \varphi(x)=\sin(x^2), aqui g(t)=\sin t e u(x)=x^2. Pela regra da cadeia,
\varphi'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x = 2x\cos(x^2).
  • Observação: sempre identifique claramente qual é a função externa e qual é a função interna; isso evita erro na hora de aplicar g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).

Passo 4

Aplicando produto + cadeia ao nosso f(x):
  • Reescrevemos f como produto:
f(x)=e^{-x}\cdot \operatorname{sen}(x+1).
  • Vamos usar a regra do produto: se y(x)=p(x)q(x), então
y'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
  • Aqui p(x)=e^{-x} e q(x)=\operatorname{sen}(x+1). Precisamos de p'(x) e q'(x). Cada uma dessas envolve função composta, então usamos regra da cadeia.

Passo 5

Derivadas das partes usando a regra da cadeia:
  • Para p(x)=e^{-x}: pensar como p(x)=g(u(x)) onde g(t)=e^{t} e u(x)=-x.
    • g'(t)=e^{t}.
    • u'(x)=-1.
    • Pela cadeia:
    p'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=e^{-x}\cdot(-1) = -e^{-x}.(intuição: a derivada de e^{ax} é a e^{ax}; aqui a=-1.)
  • Para q(x)=\operatorname{sen}(x+1): pensar como q(x)=g(u(x)) onde g(t)=\operatorname{sen} t e u(x)=x+1.
    • g'(t)=\cos t.
    • u'(x)=1.
    • Pela cadeia:
    q'(x)=\cos(x+1)\cdot 1 = \cos(x+1).

Passo 6

Juntar tudo pela regra do produto e simplificar:
  • Pela regra do produto,
f'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
  • Substituindo p,p',q,q':
f'(x)=\big(-e^{-x}\big)\,\operatorname{sen}(x+1) + e^{-x}\,\cos(x+1).
  • Colocando e^{-x} em evidência:
f'(x)=e^{-x}\big(\cos(x+1)-\operatorname{sen}(x+1)\big).
  • Essa forma já é bem simplificada; se quiser voltar à base e^{x} no denominador, observe que e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}, então equivalem.

Resposta

f'(x)=e^{-x}\big(\cos(x+1)-\operatorname{sen}(x+1)\big)

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