Determine a derivada de
, utilizando a “regra da cadeia”, se:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Foi dada a função
definida por . - A pergunta é: determinar a derivada
, utilizando a “regra da cadeia”. - Informação útil: há funções compostas dentro da seno (a parte
) e na exponencial se reescrevermos a divisão como multiplicação por uma potência (veremos isso nos próximos passos).
Passo 2
Escolha do método (sem pular etapas):
- Vou usar uma reescrita algébrica para simplificar a diferenciação: transformar a divisão em multiplicação por potência. Assim
- A partir daí aplico a regra do produto para derivar
. - Em cada diferença de função composta dentro desse cálculo (por exemplo
e ) aplico a regra da cadeia para obter as derivadas corretas. Esse caminho é direto e usa a regra da cadeia exatamente nos pontos onde o enunciado pediu.
Passo 3
Lembrete e explicação da regra da cadeia (a “aula” que você pediu):
- Regra da cadeia (forma verbal): se uma função
é composta, isto é, , então a derivada de é o produto da derivada de avaliada em pela derivada de . - Regra da cadeia (fórmula):
- Significado das letras:
-
é a função interna (o “argumento” que está dentro de outra). -
é a função externa (a que vê como entrada). -
significa derivar normalmente e depois substituir . - Multiplica-se pelo
(a derivada da função interna).
-
- Exemplo rápido para fixar: se
, aqui e . Pela regra da cadeia,
- Observação: sempre identifique claramente qual é a função externa e qual é a função interna; isso evita erro na hora de aplicar
.
Passo 4
Aplicando produto + cadeia ao nosso
:
- Reescrevemos
como produto:
- Vamos usar a regra do produto: se
, então
- Aqui
e . Precisamos de e . Cada uma dessas envolve função composta, então usamos regra da cadeia.
Passo 5
Derivadas das partes usando a regra da cadeia:
- Para
: pensar como onde e . -
. -
. - Pela cadeia:
(intuição: a derivada de é ; aqui .) -
- Para
: pensar como onde e . -
. -
. - Pela cadeia:
-
Passo 6
Juntar tudo pela regra do produto e simplificar:
- Pela regra do produto,
- Substituindo
:
- Colocando
em evidência:
- Essa forma já é bem simplificada; se quiser voltar à base
no denominador, observe que , então equivalem.