Determine, pelo método da bisseção, a primeira raiz real positiva da equação transcendente
, sabendo que a tolerância exigida e
. Use o método de arredondamento nos cálculos.
Passo 1
O enunciado pede: aproximar, pelo método da bisseção, a primeira raiz real positiva da equação transcendental
, com tolerância
. Devemos usar o método de arredondamento nos cálculos (vou arredondar todos os pontos médios e valores de função para 4 casas decimais, isto é, para
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função a estudar é
. - Queremos a primeira raiz real positiva (isto é, o menor
tal que ). - A tolerância exigida é
. - Deve-se usar arredondamento nas operações (adotado: arredondar a 4 casas decimais em cada avaliação e em cada ponto médio).
Passo 2
Entendendo onde está a primeira raiz positiva (sem resolver totalmente ainda):
- Em
temos , mas não é “positiva”. Para pequeno positivo, , então : não há raiz em . - A função
tem assíntota em . Logo, logo após a é grande negativa e em temos e . Portanto existe uma raiz em . Essa é a primeira raiz positiva que procuramos.
Explicando o método da bisseção (aula rápida):
- Teorema do valor intermediário: se
é contínua em e , então existe tal que . - Bisseção: dado
com , define-se o ponto médio . Avalia-se . Se paramos; se tomamos novo intervalo , senão . Repetir até o intervalo ser suficientemente pequeno. - Critério de parada (usado aqui): parar quando
. Nesta situação uma aproximação do zero é com erro máximo . - Estimativa do número de iterações:
. Neste problema, com e , tem-se iterações; faremos iterações até satisfazer o critério.
Regra de arredondamento adotada:
- Em cada iteração, o ponto médio
será arredondado para 4 casas decimais (ex.: ). - Cada avaliação
será calculada e então arredondada para 4 casas decimais antes de decidir o sinal.
Passo 3
Escolha do intervalo inicial (com valores arredondados a 4 casas decimais):
- Tomamos
arredondado para 4 casas: (note que é finita em porque usamos este valor arredondado, que está ligeiramente à direita de ). - Tomamos
arredondado para 4 casas: .
Verificação de sinais (apenas para saber que há mudança de sinal): -
é fortemente negativo (valor muito grande negativo devido à assíntota); arredondando, . -
.
Logoe a bisseção é aplicável.
Passo 4
Iteração 1:
-
(arredondado para 4 casas). -
(arredondado para 4 casas).
Decisão:e então novo intervalo .
Passo 5
Iteração 2:
-
. -
.
Decisão:. Novo intervalo .
Passo 6
Iteração 3:
-
(arredondado). -
.
Decisão:. Novo intervalo .
Passo 7
Iteração 4:
-
. -
.
Decisão:. Novo intervalo .
Passo 8
Iteração 5:
-
. -
.
Decisão:. Novo intervalo .
Passo 9
Iteração 6:
-
. -
.
Decisão:. Novo intervalo .
Passo 10
Iteração 7:
-
. -
.
Decisão:. Novo intervalo .
Passo 11
Iteração 8:
-
(arredondado). -
.
Decisão:. Novo intervalo .
Passo 12
Iteração 9:
-
. -
.
Decisão:. Novo intervalo .
Passo 13
Iteração 10:
-
. -
(arredondado para 4 casas: ).
Decisão:. Novo intervalo .
Passo 14
Iteração 11:
-
. -
.
Decisão:. Novo intervalo .
Passo 15
Iteração 12:
-
. -
.
Decisão:. Novo intervalo .
Observação sobre o critério de parada:
- Agora o comprimento do intervalo é
. - Metade do comprimento é
, ainda maior que . Então é necessário mais uma iteração.
Passo 16
Iteração 13:
-
. -
(arredondado para 4 casas: ).
Decisão:. Novo intervalo .
Agora o comprimento do intervalo é
e metade é
, que é igual a
. Pelo critério (parar quando
), podemos parar aqui.
A aproximação final pelo método da bisseção é o ponto médio do último intervalo:
(Observe que, conforme solicitado, todas as médias e avaliações foram arredondadas a 4 casas decimais após cada operação.)