Determine uma estimativa do número k de iterações para a equação e^{x}+x=0 sabendo que a raiz está no intervalo [-1,0] e que o problema requer uma precisão \varepsilon \leq 10^{-2}.

Passo 1

Vou expor claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Função dada: \;f(x)=e^{x}+x.
  • Intervalo onde a raiz está localizada: \;[-1,0].
  • Precisão requerida (erro absoluto máximo): \;\varepsilon \leq 10^{-2}.
  • O que se pede: estimar o número de iterações k necessárias para obter uma aproximação da raiz com erro absoluto menor ou igual a \varepsilon.

Passo 2

Confirmar que o método por bisseção é aplicável (checar existência de raiz no intervalo) e que a raiz é única (isso nos dá segurança ao usar bisseção).
  • Calcular f(-1) e f(0):
f(-1)=e^{-1}+(-1)=e^{-1}-1\approx 0{,}3679-1=-0{,}6321<0.
f(0)=e^{0}+0=1>0.
Como f(-1)<0 e f(0)>0, pela propriedade do valor intermédio existe pelo menos uma raiz em [-1,0].
  • Verificar unicidade (opcional, mas útil): a derivada é
f'(x)=e^{x}+1>0\quad\text{para todo }x,
logo f é estritamente crescente e a raiz é única no intervalo.
Portanto, o método da bisseção é aplicável e irá convergir para a única raiz em [-1,0].

Passo 3

Apresentar e justificar o critério de erro da bisseção que usaremos para estimar k.
  • Regra da bisseção: começando com um intervalo inicial de comprimento L_0=b-a, após k iterações o comprimento do intervalo restante é
L_k=\frac{b-a}{2^{k}}.
  • A aproximação usual após k iterações é o ponto médio do intervalo atual; o erro absoluto máximo entre esse ponto médio e a raiz r satisfaz
|x_k-r|\le \frac{L_k}{2}=\frac{b-a}{2^{k+1}}.
  • Para garantir erro absoluto \le \varepsilon exigimos
\frac{b-a}{2^{k+1}}\le \varepsilon.
Essa desigualdade é a base para calcular quantas iterações são necessárias.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao nosso caso numérico e resolver para k.
  • Aqui a=-1, b=0, então b-a=1. A condição é
\frac{1}{2^{k+1}}\le 10^{-2}.
  • Reescrevendo,
2^{k+1}\ge \frac{1}{10^{-2}}=100.
  • Tomando logaritmo base 2:
k+1 \ge \log_{2}(100)=\frac{\ln 100}{\ln 2}.
  • Calcular numericamente:
\ln 100=2\ln 10\approx 2\cdot 2{,}302585093=4{,}605170186,
\ln 2\approx 0{,}693147181,
\log_{2}(100)=\frac{4{,}605170186}{0{,}693147181}\approx 6{,}64385619.
Logo
k+1 \ge 6{,}64385619 \quad\Rightarrow\quad k\ge 5{,}64385619.
Como k deve ser inteiro e satisfazer a desigualdade, tomamos o menor inteiro maior ou igual a 5{,}64385619, isto é
k=6.

Passo 5

Verificação rápida numérica do erro com k=6 e por que k=5 não basta.
  • Com k=6, o limite superior do erro é
\frac{1}{2^{6+1}}=\frac{1}{128}\approx 0{,}0078125 \le 0{,}01.
  • Com k=5, o limite seria
\frac{1}{2^{5+1}}=\frac{1}{64}\approx 0{,}015625 > 0{,}01,
portanto 5 iterações não atingem a precisão desejada, e 6 iterações são suficientes e mínimas.

Resposta

\,k=6\,

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