Determine uma estimativa do número
de iterações para a equação
sabendo que a raiz está no intervalo
e que o problema requer uma precisão
.
Passo 1
Vou expor claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Função dada:
. - Intervalo onde a raiz está localizada:
. - Precisão requerida (erro absoluto máximo):
. - O que se pede: estimar o número de iterações
necessárias para obter uma aproximação da raiz com erro absoluto menor ou igual a .
Passo 2
Confirmar que o método por bisseção é aplicável (checar existência de raiz no intervalo) e que a raiz é única (isso nos dá segurança ao usar bisseção).
- Calcular
e :
Como
e
, pela propriedade do valor intermédio existe pelo menos uma raiz em
.
- Verificar unicidade (opcional, mas útil): a derivada é
logo
é estritamente crescente e a raiz é única no intervalo.
Portanto, o método da bisseção é aplicável e irá convergir para a única raiz em
.
Passo 3
Apresentar e justificar o critério de erro da bisseção que usaremos para estimar
.
- Regra da bisseção: começando com um intervalo inicial de comprimento
, após iterações o comprimento do intervalo restante é
- A aproximação usual após
iterações é o ponto médio do intervalo atual; o erro absoluto máximo entre esse ponto médio e a raiz satisfaz
- Para garantir erro absoluto
exigimos
Essa desigualdade é a base para calcular quantas iterações são necessárias.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao nosso caso numérico e resolver para
.
- Aqui
, , então . A condição é
- Reescrevendo,
- Tomando logaritmo base
:
- Calcular numericamente:
Logo
Como
deve ser inteiro e satisfazer a desigualdade, tomamos o menor inteiro maior ou igual a
, isto é
Passo 5
Verificação rápida numérica do erro com
e por que
não basta.
- Com
, o limite superior do erro é
- Com
, o limite seria
portanto 5 iterações não atingem a precisão desejada, e 6 iterações são suficientes e mínimas.