Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(x)=raiz3 sen x-2 cos x5

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=raiz3sin x-2cos x5
utilizando a regra da cadeia. O conteúdo aqui é derivada de função composta e sabemos que vamos precisar da fórmula da derivada de raiz quadrada e das derivadas de sin x e cos x.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções interna e externa. Definimos
u(x)=3sin x-2cos x5
como a função interna, e a função externa como
g(u)=raizu=u^1/2
A regra da cadeia diz que
f'(x)=g'(u(x))cdot u'(x)

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada da função externa. Como g(u)=u^1/2, temos
g'(u)=12 u^-1/2=12raizu

Passo 4

Agora derivamos a função interna:
u(x)=3sin x-2cos x5
Como 5 é constante, usamos a derivada de soma e das funções trigonométricas:
u'(x)=15l(3cos x -(-2)sin xr)=3cos x+2sin x5

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia combinando g'(u) e u'(x), obtemos:
f'(x)=12raizu(x)cdot u'(x) =12raiz3sin x-2cos x5cdot3cos x+2sin x5

Passo 6

Por fim, simplificamos a expressão. Observando que
raiz3sin x-2cos x5=raiz3sin x-2cos xraiz5,
temos:
$$f’(x)=\frac{3\cos x+2\sin x}{10,\frac{\sqrt{3\sin x-2\cos x}}{\sqrt5}}
=\frac{3\cos x+2\sin x}{2\sqrt5,\sqrt{3\sin x-2\cos x}}
=\frac{3\cos x+2\sin x}{2\sqrt{5\bigl(3\sin x-2\cos x\bigr)}}.
$$

Resposta

f'(x)=3cos x+2sin x2raiz5l(3sin x-2cos xr)

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