Calcule as derivadas parciais abaixo
fx y e fz z, onde f(x, y, z)=z^3 sen(x^2+y^2)-3 x ln (y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais $ f_{xy} $ e $ f_{zz} $ da função $ f(x, y, z) = z^{3} \sin\left(x^{2} + y^{2}\right) - 3x \ln(y) $. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais, que são derivadas de funções com várias variáveis respeitando uma variável de cada vez. Vamos começar calculando $ f_{xy} $ e depois $ f_{zz} $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ f_x $. Para isso, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes.
A função é:
f
Derivando em relação a $ x $:
x

Passo 3

Agora, queremos a derivada parcial de $ f_x $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_{xy} $. Vamos derivar $ f_x $ em relação a $ y $:
fx
Derivando cada termo em relação a $ y $:
  1. Primeiro termo:
y
  1. Segundo termo:
fxy
Então, juntando os termos:
fx

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada parcial $ f_{zz} $. Primeiro, encontramos $ f_z $, a derivada de $ f $ em relação a $ z $, e depois derivamos novamente em relação a $ z $.
Derivando $ f $ em relação a $ z $:
fzz
fz
Agora, derivando $ f_z $ em relação a $ z $:
f

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:
fxy = -4xy z^3 sin(x^2 + y^2) - 3y
fzz = 6z sin(x^2 + y^2)

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