Calcule as derivadas parciais abaixo
e
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais $ f_{xy} $ e $ f_{zz} $ da função $ f(x, y, z) = z^{3} \sin\left(x^{2} + y^{2}\right) - 3x \ln(y) $. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais, que são derivadas de funções com várias variáveis respeitando uma variável de cada vez. Vamos começar calculando $ f_{xy} $ e depois $ f_{zz} $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ f_x $. Para isso, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes.
A função é:
Derivando em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, queremos a derivada parcial de $ f_x $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_{xy} $. Vamos derivar $ f_x $ em relação a $ y $:
Derivando cada termo em relação a $ y $:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Então, juntando os termos:
Passo 4
Agora vamos calcular a derivada parcial $ f_{zz} $. Primeiro, encontramos $ f_z $, a derivada de $ f $ em relação a $ z $, e depois derivamos novamente em relação a $ z $.
Derivando $ f $ em relação a $ z $:
Agora, derivando $ f_z $ em relação a $ z $:
Resposta
As derivadas parciais solicitadas são: