Determine a derivada da função dada:
f(x)=\frac{\operatorname{an} x+\cos x}{\operatorname{are} x-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\operatorname{an}x+\cos x}{\operatorname{are}x-\cos x}.
Aqui vamos usar dois ingredientes principais:
  1. A regra da cadeia para derivar \cos x e as funções \operatorname{an}x, \operatorname{are}x.
  2. A regra do quociente: se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)'=\frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.

Passo 2

Defina
u(x)=\operatorname{an}x+\cos x, \quad v(x)=\operatorname{are}x-\cos x.
Para aplicar a regra do quociente, precisamos de u'(x) e v'(x).

Passo 3

Derivando termo a termo:
  • Pela regra da cadeia, \bigl(\cos x\bigr)'=-\sin x.
  • Logo,
u'(x)=\bigl(\operatorname{an}x\bigr)'\;+\;\bigl(\cos x\bigr)' =\operatorname{an}'(x)\;-\;\sin x.
  • De modo análogo,
v'(x)=\bigl(\operatorname{are}x\bigr)'\;-\;\bigl(\cos x\bigr)' =\operatorname{are}'(x)\;+\;\sin x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)\;-\;u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} =\frac{\bigl(\operatorname{an}'(x)-\sin x\bigr)\bigl(\operatorname{are}x-\cos x\bigr) -\bigl(\operatorname{an}x+\cos x\bigr)\bigl(\operatorname{are}'(x)+\sin x\bigr)} {\bigl(\operatorname{are}x-\cos x\bigr)^{2}}.

Resposta

f'(x) =\frac{\bigl(\operatorname{an}'(x)-\sin x\bigr)\bigl(\operatorname{are}x-\cos x\bigr) -\bigl(\operatorname{an}x+\cos x\bigr)\bigl(\operatorname{are}'(x)+\sin x\bigr)} {\bigl(\operatorname{are}x-\cos x\bigr)^{2}}.

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