Determine a derivada da função f, só os pares (2 ao 18), utilizando as regras de derivação.
f(x)=\sqrt{2 x^{2}-2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função f usando regras de derivação, e fornece a função
f(x)=\sqrt{2 x^{2}-2 x+3}.
Informações que temos (já tiradas do enunciado):
  • A expressão dentro da raiz é 2x^{2}-2x+3.
  • Queremos f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Reescrever a função de uma forma que facilite aplicar regras: a raiz quadrada pode ser escrita como potência 1/2. Então
f(x)=\bigl(2x^{2}-2x+3\bigr)^{1/2}.
Explicação didática (regra que vamos usar): quando uma função é composta f(x)=h(g(x)) com h(u)=u^{1/2} e g(x)=2x^{2}-2x+3, aplica-se a regra da cadeia: a derivada é f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x). Para h(u)=u^{1/2} vale h'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}.

Passo 3

Calcular a derivada da parte interna g(x)=2x^{2}-2x+3. Aplicando a regra do poder e a regra da soma:
  • \dfrac{d}{dx}(2x^{2})=2\cdot 2x=4x (regra do poder: \dfrac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1}),
  • \dfrac{d}{dx}(-2x)=-2 (derivada de ax é a),
  • \dfrac{d}{dx}(3)=0 (constante).
    Portanto
g'(x)=4x-2.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia combinando h'(u) e g'(x). Temos
f'(x)=\frac{1}{2}\bigl(2x^{2}-2x+3\bigr)^{-1/2}\cdot(4x-2).
Agora simplificamos o fator numérico: \tfrac{1}{2}(4x-2)=2x-1. Logo
f'(x)=(2x-1)\bigl(2x^{2}-2x+3\bigr)^{-1/2}.

Passo 5

Passar da potência fracionária para raiz (forma mais usual):
\bigl(2x^{2}-2x+3\bigr)^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2x^{2}-2x+3}}.
Assim podemos escrever a derivada de forma bem direta:
f'(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{2x^{2}-2x+3}}.

Passo 6

Verificação do domínio (importante na prova): a função original f está definida quando o radicando é não-negativo. Calcule o discriminante da quadrática 2x^{2}-2x+3:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot 2\cdot 3 = 4-24 = -20 < 0.
Como o coeficiente de x^{2} é 2>0 e \Delta<0, a quadrática é sempre positiva para todo x\in\mathbb{R}. Portanto f e f' estão definidas para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 7

Observação prática (fórmula geral): para qualquer função do tipo \sqrt{ax^{2}+bx+c} segue a mesma lógica; a derivada geral é
\frac{d}{dx}\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\frac{2ax+b}{2\sqrt{ax^{2}+bx+c}}.
No nosso caso a=2 e b=-2, então o numerador fica (2\cdot 2)x+(-2)=4x-2 que dividido por 2 2x-1, coincidindo com o resultado anterior.

Passo 8

Dica de prova: ao derivar compostas do tipo raíz, aplique a regra da cadeia imediatamente e simplifique os fatores numéricos antes de manipular radicais — isso evita frações desnecessárias e erros algébricos. Ex.: aqui simplificamos \tfrac{1}{2}(4x-2) para 2x-1 logo de cara.

Passo 9

Exemplo numérico rápido para conferir: calcule f'(1). Substituindo em \dfrac{2x-1}{\sqrt{2x^{2}-2x+3}}:
f'(1)=\frac{2\cdot 1-1}{\sqrt{2\cdot 1^{2}-2\cdot 1+3}}=\frac{1}{\sqrt{2-2+3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Portanto a fórmula dá um valor coerente e fácil de verificar.

Passo 10

Resumo final do raciocínio que deve ser aplicado na prova: 1) reescreva a raiz como potência 1/2; 2) identifique a função interna e calcule sua derivada (polinômios são diretos); 3) aplique regra da cadeia h'(g(x))g'(x); 4) simplifique constantes e reescreva em forma de raiz se preferir. Com isso evita-se perder pontos por algebra mal feita.

Resposta

f'(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{2x^{2}-2x+3}}

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