Determine a derivada da função
, só os pares (2 ao 18), utilizando as regras de derivação.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
usando regras de derivação, e fornece a função
Informações que temos (já tiradas do enunciado):
- A expressão dentro da raiz é
. - Queremos
, a derivada de em função de .
Passo 2
Reescrever a função de uma forma que facilite aplicar regras: a raiz quadrada pode ser escrita como potência
. Então
Explicação didática (regra que vamos usar): quando uma função é composta
com
e
, aplica-se a regra da cadeia: a derivada é
. Para
vale
.
Passo 3
Calcular a derivada da parte interna
. Aplicando a regra do poder e a regra da soma:
-
(regra do poder: ), -
(derivada de é ), -
(constante).
Portanto
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia combinando
e
. Temos
Agora simplificamos o fator numérico:
. Logo
Passo 5
Passar da potência fracionária para raiz (forma mais usual):
Assim podemos escrever a derivada de forma bem direta:
Passo 6
Verificação do domínio (importante na prova): a função original
está definida quando o radicando é não-negativo. Calcule o discriminante da quadrática
:
Como o coeficiente de
é
e
, a quadrática é sempre positiva para todo
. Portanto
e
estão definidas para todo
.
Passo 7
Observação prática (fórmula geral): para qualquer função do tipo
segue a mesma lógica; a derivada geral é
No nosso caso
e
, então o numerador fica
que dividido por
dá
, coincidindo com o resultado anterior.
Passo 8
Dica de prova: ao derivar compostas do tipo raíz, aplique a regra da cadeia imediatamente e simplifique os fatores numéricos antes de manipular radicais — isso evita frações desnecessárias e erros algébricos. Ex.: aqui simplificamos
para
logo de cara.
Passo 9
Exemplo numérico rápido para conferir: calcule
. Substituindo em
:
Portanto a fórmula dá um valor coerente e fácil de verificar.
Passo 10
Resumo final do raciocínio que deve ser aplicado na prova: 1) reescreva a raiz como potência
; 2) identifique a função interna e calcule sua derivada (polinômios são diretos); 3) aplique regra da cadeia
; 4) simplifique constantes e reescreva em forma de raiz se preferir. Com isso evita-se perder pontos por algebra mal feita.