Determine a derivada da função
, só os pares (2 ao 18), utilizando as regras de derivação.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: determinar a derivada da função
. - Dá a função
- Observação: a função está definida sempre que
, ou seja, para .
Passo 2
Reescrever a função numa forma que facilite aplicar regras de derivação.
É mais simples trabalhar com potências do que com quocientes. Reescrevo a função tirando a constante para fora e escrevendo o denominador como potência negativa:
Essa escrita é equivalente à original porque
.
Passo 3
Lembrar as regras que vou usar (explicadas de forma clara e com exemplos simples).
- Regra do fator constante: se
é constante e é diferenciável, então
Exemplo:
.
- Regra da potência (para funções do tipo
): se é real e diferenciável, aplica-se a regra da cadeia:
Aqui
é a derivada da função interna
.
Exemplo simples: para e
,
.
Exemplo simples: para
- Regra da cadeia (forma verbal): para composições
, a derivada é . A regra da potência acima é um caso particular da cadeia.
Passo 4
Aplicar a regra do fator constante e a regra da potência/ cadeia à nossa função.
Temos
. Pela regra do fator constante, a derivada será
vezes a derivada de
. Em forma simbólica:
Passo 5
Calcular a derivada de
usando a regra da potência com a cadeia.
Aqui a função interna é
e o expoente é
. Pela regra da potência com cadeia:
Passo 6
Calcular a derivada da função interna
.
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Logo
Passo 7
Juntar tudo (sem simplificar completamente) e mostrar a forma imediatamente obtida antes da simplificação final.
Substituindo a derivada da interna no resultado do Passo 5 e multiplicando pelo
do Passo 4:
Essa é a expressão obtida diretamente pelas regras aplicadas.
Passo 8
Simplificar os fatores constantes e apresentar o resultado final (esta última simplificação é feita agora e a forma final ficará apenas na seção de resposta).
Multiplicando
obtemos
; mantendo a potência do denominador, a forma simplificada é
. A expressão final está na seção de resposta.