Determine a derivada da função f, só os pares (2 ao 18), utilizando as regras de derivação.
f(x)=\frac{2}{\left(x^{2}-1\right)^{4}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: determinar a derivada da função f.
  • Dá a função
f(x)=\frac{2}{\left(x^{2}-1\right)^{4}}.
  • Observação: a função está definida sempre que x^{2}-1\neq0, ou seja, para x\neq\pm1.

Passo 2

Reescrever a função numa forma que facilite aplicar regras de derivação.
É mais simples trabalhar com potências do que com quocientes. Reescrevo a função tirando a constante para fora e escrevendo o denominador como potência negativa:
f(x)=2\,(x^{2}-1)^{-4}.
Essa escrita é equivalente à original porque (x^{2}-1)^{-4}=1/(x^{2}-1)^{4}.

Passo 3

Lembrar as regras que vou usar (explicadas de forma clara e com exemplos simples).
  • Regra do fator constante: se c é constante e g(x) é diferenciável, então
\frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x).
Exemplo: \dfrac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)=3\cdot \dfrac{d}{dx}(x^{2})=3\cdot 2x=6x.
  • Regra da potência (para funções do tipo u(x)^{n}): se n é real e u(x) diferenciável, aplica-se a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(u(x)^{n}\big)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui u'(x) é a derivada da função interna u(x).
Exemplo simples: para u(x)=x^{2} e n=3, \dfrac{d}{dx}(x^{2})^{3}=3(x^{2})^{2}\cdot 2x.
  • Regra da cadeia (forma verbal): para composições g(h(x)), a derivada é g'(h(x))\cdot h'(x). A regra da potência acima é um caso particular da cadeia.

Passo 4

Aplicar a regra do fator constante e a regra da potência/ cadeia à nossa função.
Temos f(x)=2\cdot (x^{2}-1)^{-4}. Pela regra do fator constante, a derivada será 2 vezes a derivada de (x^{2}-1)^{-4}. Em forma simbólica:
f'(x)=2\cdot\frac{d}{dx}\big((x^{2}-1)^{-4}\big).

Passo 5

Calcular a derivada de (x^{2}-1)^{-4} usando a regra da potência com a cadeia.
Aqui a função interna é u(x)=x^{2}-1 e o expoente é n=-4. Pela regra da potência com cadeia:
\frac{d}{dx}\big((x^{2}-1)^{-4}\big) = -4\,(x^{2}-1)^{-5}\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}-1).

Passo 6

Calcular a derivada da função interna \dfrac{d}{dx}(x^{2}-1).
A derivada de x^{2} é 2x e a derivada de -1 é 0. Logo
\frac{d}{dx}(x^{2}-1)=2x.

Passo 7

Juntar tudo (sem simplificar completamente) e mostrar a forma imediatamente obtida antes da simplificação final.
Substituindo a derivada da interna no resultado do Passo 5 e multiplicando pelo 2 do Passo 4:
f'(x)=2\cdot\big(-4\,(x^{2}-1)^{-5}\cdot 2x\big).
Essa é a expressão obtida diretamente pelas regras aplicadas.

Passo 8

Simplificar os fatores constantes e apresentar o resultado final (esta última simplificação é feita agora e a forma final ficará apenas na seção de resposta).
Multiplicando 2\cdot(-4)\cdot 2x obtemos -16x; mantendo a potência do denominador, a forma simplificada é -\dfrac{16x}{(x^{2}-1)^{5}}. A expressão final está na seção de resposta.

Resposta

-\dfrac{16x}{\left(x^{2}-1\right)^{5}}

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