Escreva f(z)=\frac{1}{3} como una súrie de poténcias em tormo de z_{0}=-5

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(z)=\dfrac{1}{3}\, e pede para escrevê-la como uma série de potências em torno do ponto \,z_{0}=-5\,.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é constante: \,f(z)=\dfrac{1}{3}\, para todo z.
  • O centro da série pedida é \,z_{0}=-5\,.
  • O que se deseja é uma expressão do tipo \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(z+5)^{n} (ou equivalente), ou seja, os coeficientes a_{n}.

Passo 2

O que significa escrever uma função como série de potências em torno de \,z_{0}=-5:
  • Uma série de potências em torno de \,z_{0} tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(z-z_{0})^{n}.
Aqui usaremos z_{0}=-5, então a forma será \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(z+5)^{n}.

Passo 3

Fórmula prática para encontrar os coeficientes (a ideia que vamos aplicar):
  • Se a função for infinitamente diferenciável, os coeficientes da série de Taylor centrada em \,z_{0} são dados por
a_{n}=\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!},
onde f^{(n)} é a n-ésima derivada de f e n! é o fatorial de n.
Explicando cada símbolo:
  • a_{n} é o coeficiente correspondente ao termo (z-z_{0})^{n}.
  • f^{(n)}(z_{0}) significa "a n-ésima derivada de f avaliada em z_{0}".
  • n! é o produto 1\cdot 2\cdot 3\cdots n (por convenção 0!=1).

Passo 4

Calcular as derivadas de f (função constante):
  • Para uma função constante f(z)=C vale:
f(z)=C,\qquad f'(z)=0,\qquad f''(z)=0,\qquad f^{(n)}(z)=0\\ \text{para todo } n\ge1.
No nosso caso C=\dfrac{1}{3}. Portanto:
f(-5)=\frac{1}{3}, \qquad f^{(n)}(-5)=0\\ \text{para todo } n\ge1.

Passo 5

Encontrar os coeficientes a_{n} usando a fórmula:
  • Para n=0:
a_{0}=\frac{f^{(0)}(-5)}{0!}=\frac{f(-5)}{1}=\frac{1}{3}.
  • Para n\ge1:
a_{n}=\frac{f^{(n)}(-5)}{n!}=\frac{0}{n!}=0.

Passo 6

Escrever a série de potências com os coeficientes encontrados:
  • Substituindo os a_{n} na forma \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(z+5)^{n} obtemos
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(z+5)^{n} = a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty} 0\cdot (z+5)^{n} = \frac{1}{3}.

Passo 7

Observação sobre convergência (útil na prova):
  • Como todos os coeficientes a_{n} com n\ge1 são zero, a série trivially converge para todo z. Em termos de raio de convergência, tem-se R=\infty.

Resposta

f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(z+5)^{n},\qquad a_{0}=\frac{1}{3},\; a_{n}=0\\ \text{para}\\ n\ge1.

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