Escreva
como una súrie de poténcias em tormo de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para escrevê-la como uma série de potências em torno do ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é constante:
para todo . - O centro da série pedida é
. - O que se deseja é uma expressão do tipo
(ou equivalente), ou seja, os coeficientes .
Passo 2
O que significa escrever uma função como série de potências em torno de
:
- Uma série de potências em torno de
tem a forma
Aqui usaremos
, então a forma será
.
Passo 3
Fórmula prática para encontrar os coeficientes (a ideia que vamos aplicar):
- Se a função for infinitamente diferenciável, os coeficientes da série de Taylor centrada em
são dados por
onde
é a
-ésima derivada de
e
é o fatorial de
.
Explicando cada símbolo:
-
é o coeficiente correspondente ao termo . -
significa "a -ésima derivada de avaliada em ". -
é o produto (por convenção ).
Passo 4
Calcular as derivadas de
(função constante):
- Para uma função constante
vale:
No nosso caso
. Portanto:
Passo 5
Encontrar os coeficientes
usando a fórmula:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Escrever a série de potências com os coeficientes encontrados:
- Substituindo os
na forma obtemos
Passo 7
Observação sobre convergência (útil na prova):
- Como todos os coeficientes
com são zero, a série trivially converge para todo . Em termos de raio de convergência, tem-se .