Determine a derivada da função
, só os pares (2 ao 18), utilizando as regras de derivação.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Foi dada a função
- O pedido: determinar a derivada de
e apresentar essa derivada apenas nos pontos pares de a , ou seja, calcular . - Informações relevantes: expressão explícita de
. Não há restrições adicionais.
Passo 2
Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (aula curta e prática).
- Regra do poder (power rule): se
com constante, então . - Regra da cadeia (chain rule): se
, então
No caso de
com
, a regra da cadeia dá
- Aplicaremos essas duas regras porque
é uma constante multiplicando uma potência negativa de uma função composta .
Passo 3
Aplicando a substituição e as regras: passo a passo.
- Defino
. Então . - Calculo
: usando derivada de soma e regra do poder em cada termo,
- Agora uso a regra da cadeia com a constante
. A derivada de é . Assim,
- Substituindo
e ,
- Para ficar numa forma de fração clara, escrevo
Passo 4
Como avaliar
em um número
.
- Para obter
basta substituir na fórmula encontrada:
- Vou aplicar isso para cada
. Em cada caso eu avalio e e coloco na fórmula. Quando convém simplifico a fração.
Passo 5
Cálculo de
.
- Para
: e . - Substituindo,
Passo 6
Cálculo de
e
.
- Para
: , .
Calculando
e
, simplifica-se para
- Para
: , .
Calculando
,
, e
, simplifica-se por
quando possível:
Passo 7
Cálculo de
e
.
- Para
: , .
Calculando
,
,
, obtém-se
- Para
: , .
Como
e
,
. Dividindo por
:
Passo 8
Cálculo de
e
.
- Para
: , .
Como
,
e
, dividindo por
obtemos
- Para
: , .
Calculando
,
,
, logo
Passo 9
Cálculo de
e
.
- Para
: , .
Com
e
, temos
, portanto
- Para
: , .
Com
e
,
. Dividindo numerador e denominador por
obtemos