Determine a derivada da função f, só os pares (2 ao 18), utilizando as regras de derivação.
f(t)=\frac{1}{2}\left(2 t^{2}+t\right)^{-3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Foi dada a função
f(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(2t^{2}+t\bigr)^{-3}.
  • O pedido: determinar a derivada de f e apresentar essa derivada apenas nos pontos pares de 2 a 18, ou seja, calcular f'(2),f'(4),f'(6),\ldots,f'(18).
  • Informações relevantes: expressão explícita de f(t). Não há restrições adicionais.

Passo 2

Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (aula curta e prática).
  • Regra do poder (power rule): se g(x)=x^{n} com n constante, então \dfrac{d}{dx}g(x)=n x^{n-1}.
  • Regra da cadeia (chain rule): se h(x)=\varphi(\psi(x)), então
h'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x).
No caso de \varphi(u)=u^{n} com u=\psi(x), a regra da cadeia dá
\frac{d}{dx}\bigl(\psi(x)^{n}\bigr)=n\,\psi(x)^{\,n-1}\cdot\psi'(x).
  • Aplicaremos essas duas regras porque f é uma constante multiplicando uma potência negativa de uma função composta 2t^{2}+t.

Passo 3

Aplicando a substituição e as regras: passo a passo.
  • Defino u(t)=2t^{2}+t. Então f(t)=\tfrac{1}{2}\,u(t)^{-3}.
  • Calculo u'(t): usando derivada de soma e regra do poder em cada termo,
u'(t)=\frac{d}{dt}(2t^{2}+t)=2\cdot 2t + 1 =4t+1.
  • Agora uso a regra da cadeia com a constante \tfrac{1}{2}. A derivada de u^{-3} é -3u^{-4}\cdot u'. Assim,
f'(t)=\tfrac{1}{2}\cdot\bigl(-3\bigr)\,u(t)^{-4}\cdot u'(t).
  • Substituindo u(t) e u'(t),
f'(t)= -\tfrac{3}{2}\,(4t+1)\,(2t^{2}+t)^{-4}.
  • Para ficar numa forma de fração clara, escrevo
\boxed{\,f'(t)=-\dfrac{3(4t+1)}{2\bigl(2t^{2}+t\bigr)^{4}}\,.}

Passo 4

Como avaliar f'(t) em um número t_{0}.
  • Para obter f'(t_{0}) basta substituir t=t_{0} na fórmula encontrada:
f'(t_{0})=-\dfrac{3\bigl(4t_{0}+1\bigr)}{2\bigl(2t_{0}^{2}+t_{0}\bigr)^{4}}.
  • Vou aplicar isso para cada t_{0}\in\{2,4,6,8,10,12,14,16,18\}. Em cada caso eu avalio 4t_{0}+1 e 2t_{0}^{2}+t_{0} e coloco na fórmula. Quando convém simplifico a fração.

Passo 5

Cálculo de f'(2).
  • Para t_{0}=2: 4t_{0}+1=9 e 2t_{0}^{2}+t_{0}=2\cdot 4+2=10.
  • Substituindo,
f'(2)=-\dfrac{3\cdot 9}{2\cdot 10^{4}}=-\dfrac{27}{2\cdot 10000}=-\dfrac{27}{20000}.

Passo 6

Cálculo de f'(4) e f'(6).
  • Para t_{0}=4: 4t_{0}+1=17, 2t_{0}^{2}+t_{0}=2\cdot 16+4=36.
f'(4)=-\dfrac{3\cdot 17}{2\cdot 36^{4}}=-\dfrac{51}{2\cdot 36^{4}}.
Calculando 36^{4}=1679616 e 2\cdot1679616=3359232, simplifica-se para
f'(4)=-\dfrac{17}{1119744}.
  • Para t_{0}=6: 4t_{0}+1=25, 2t_{0}^{2}+t_{0}=2\cdot36+6=78.
f'(6)=-\dfrac{3\cdot25}{2\cdot78^{4}}=-\dfrac{75}{2\cdot78^{4}}.
Calculando 78^{2}=6084, 78^{4}=6084^{2}=37015056, e 2\cdot37015056=74030112, simplifica-se por 3 quando possível:
f'(6)=-\dfrac{25}{24676704}.

Passo 7

Cálculo de f'(8) e f'(10).
  • Para t_{0}=8: 4t_{0}+1=33, 2t_{0}^{2}+t_{0}=2\cdot64+8=136.
f'(8)=-\dfrac{3\cdot33}{2\cdot136^{4}}=-\dfrac{99}{2\cdot136^{4}}.
Calculando 136^{2}=18496, 136^{4}=18496^{2}=342102016, 2\cdot342102016=684204032, obtém-se
f'(8)=-\dfrac{99}{684204032}.
  • Para t_{0}=10: 4t_{0}+1=41, 2t_{0}^{2}+t_{0}=2\cdot100+10=210.
f'(10)=-\dfrac{3\cdot41}{2\cdot210^{4}}=-\dfrac{123}{2\cdot210^{4}}.
Como 210^{2}=44100 e 210^{4}=44100^{2}=1944810000, 2\cdot210^{4}=3889620000. Dividindo por 3:
f'(10)=-\dfrac{41}{1296540000}.

Passo 8

Cálculo de f'(12) e f'(14).
  • Para t_{0}=12: 4t_{0}+1=49, 2t_{0}^{2}+t_{0}=2\cdot144+12=300.
f'(12)=-\dfrac{3\cdot49}{2\cdot300^{4}}=-\dfrac{147}{2\cdot300^{4}}.
Como 300^{2}=90000, 300^{4}=90000^{2}=8100000000 e 2\cdot300^{4}=16200000000, dividindo por 3 obtemos
f'(12)=-\dfrac{49}{5400000000}.
  • Para t_{0}=14: 4t_{0}+1=57, 2t_{0}^{2}+t_{0}=2\cdot196+14=406.
f'(14)=-\dfrac{3\cdot57}{2\cdot406^{4}}=-\dfrac{171}{2\cdot406^{4}}.
Calculando 406^{2}=164836, 406^{4}=164836^{2}=27170906896, 2\cdot406^{4}=54341813792, logo
f'(14)=-\dfrac{171}{54341813792}.

Passo 9

Cálculo de f'(16) e f'(18).
  • Para t_{0}=16: 4t_{0}+1=65, 2t_{0}^{2}+t_{0}=2\cdot256+16=528.
f'(16)=-\dfrac{3\cdot65}{2\cdot528^{4}}=-\dfrac{195}{2\cdot528^{4}}.
Com 528^{2}=278784 e 528^{4}=278784^{2}=77720518656, temos 2\cdot528^{4}=155441037312, portanto
f'(16)=-\dfrac{195}{155441037312}.
  • Para t_{0}=18: 4t_{0}+1=73, 2t_{0}^{2}+t_{0}=2\cdot324+18=666.
f'(18)=-\dfrac{3\cdot73}{2\cdot666^{4}}=-\dfrac{219}{2\cdot666^{4}}.
Com 666^{2}=443556 e 666^{4}=443556^{2}=196741925136, 2\cdot666^{4}=393483850272. Dividindo numerador e denominador por 3 obtemos
f'(18)=-\dfrac{73}{131161283424}.

Resposta

f'(2)=-\dfrac{27}{20000}
f'(4)=-\dfrac{17}{1119744}
f'(6)=-\dfrac{25}{24676704}
f'(8)=-\dfrac{99}{684204032}
f'(10)=-\dfrac{41}{1296540000}
f'(12)=-\dfrac{49}{5400000000}
f'(14)=-\dfrac{171}{54341813792}
f'(16)=-\dfrac{195}{155441037312}
f'(18)=-\dfrac{73}{131161283424}

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