Determine a derivada da função
, só os pares (2 ao 18), utilizando as regras de derivação.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
dada por
Informações relevantes que temos: a função é um produto de uma constante
por uma potência de uma função interna
elevada à quarta potência. A tarefa é calcular
.
Passo 2
Quais regras de derivação vamos usar (lista e explicação didática):
- Regra do múltiplo constante: se
é constante e é diferenciável, então . Aqui é um número (ex.: ) e é a parte dependente de . - Regra da cadeia (forma prática para potências): se temos uma composição
com constante, então
Nessa fórmula
é a função interna e
é sua derivada.
- Regra da soma e power rule para monômios:
. Para soma de termos, deriva-se termo a termo.
Passo 3
Identificar função interna e externa (esquema de composição):
- Função externa (sem a constante):
, onde é variável genérica. - Função interna:
.
A funçãopode ser vista como .
Passo 4
Aplicar a regra do múltiplo constante imediatamente:
Ou seja, a constante
sai como fator ao derivar.
Passo 5
Agora aplicar a regra da cadeia à derivada de
. Pela regra da cadeia:
Aqui
,
é a potência reduzida em uma unidade, e multiplica-se pela derivada da função interna
.
Passo 6
Reunindo Passo 4 e Passo 5, obtemos:
Substituindo
teremos em seguida.
Passo 7
Calcular
com a regra da soma e power rule. Para
:
- derivada de
é (porque ), - derivada de
é .
Portanto.
Passo 8
Substituir
e
na expressão de
:
Passo 9
Agrupar os fatores constantes
e
:
Expliquei que multipliquei
e mantive os fatores que dependem de
.
Passo 10
Uma forma equivalente e às vezes útil é multiplicar
pelo polinômio
:
logo outra escrita é
Passo 11
Explicar porque fica assim (intuição): a derivada “puxa para fora” o expoente
como fator, reduz o expoente para
na cópia da função interna, e ainda multiplica pela derivada da interna
. A constante 3 que estava multiplicando fica multiplicando tudo.
Passo 12
Mostrar a versão fatorada do fator interno, que pode ajudar em interpretação de zeros:
portanto
Isso é útil se, por exemplo, quiseres estudar sinais ou zeros de
.
Passo 13
Listar as duas formas finais equivalentes (uma factorizada, outra expandida no polinômio):
- Forma bastante usada em provas:
- Forma com o polinômio multiplicado:
Passo 14
Um pequeno exemplo análogo para fixar: se
, por analogia a derivada seria
mesmo padrão: constante externa
expoente
interna elevada a
derivada da interna.
Passo 15
Dicas rápidas para prova (passo-a-passo que dá certo):
- Identifica a constante multiplicativa e puxa ela para fora.
- Identifica a função interna
e a externa . - Aplica a regra da cadeia: traz o expoente como fator e reduz o expoente em 1.
- Calcula
separadamente (deriva termo a termo). - Multiplica tudo e simplifica constantes.
Passo 16
Verificação numérica rápida para conferir sem erro de sinais: escolher
. Calcula-se
pela fórmula:
-
em é . - Logo
. Isso bate com a forma fatorada acima que tem o fator , então anula . Útil como checagem rápida.
Passo 17
Resumo final do raciocínio: usamos regra do múltiplo constante + regra da cadeia + derivada da função interna polinomial. Multiplicamos constantes e simplificamos para obter a forma final. Se estiver nervoso na prova, segue a sequência das Dicas do Passo 15.
Passo 18
Última observação prática: na maioria das provas vale apresentar a forma mais clara e reduzida (ex.: fator comum 12 exposto), então a forma
é excelente — curta, correta e mostra bem de onde veio cada fator.