Determine a derivada da função f, só os pares (2 ao 18), utilizando as regras de derivação.
f(x)=3\left(x^{3}-x\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função f dada por
f(x)=3\bigl(x^{3}-x\bigr)^{4}.
Informações relevantes que temos: a função é um produto de uma constante 3 por uma potência de uma função interna \bigl(x^{3}-x\bigr) elevada à quarta potência. A tarefa é calcular f'(x).

Passo 2

Quais regras de derivação vamos usar (lista e explicação didática):
  • Regra do múltiplo constante: se a é constante e g(x) é diferenciável, então \dfrac{d}{dx}\bigl(a\cdot g(x)\bigr)=a\cdot g'(x). Aqui a é um número (ex.: 3) e g(x) é a parte dependente de x.
  • Regra da cadeia (forma prática para potências): se temos uma composição F(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{n} com n constante, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\bigr)^{n}=n\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}\cdot u'(x).
Nessa fórmula u(x) é a função interna e u'(x) é sua derivada.
  • Regra da soma e power rule para monômios: \dfrac{d}{dx}\,x^{k}=k x^{k-1}. Para soma de termos, deriva-se termo a termo.

Passo 3

Identificar função interna e externa (esquema de composição):
  • Função externa (sem a constante): G(u)=u^{4}, onde u é variável genérica.
  • Função interna: u(x)=x^{3}-x.
    A função f pode ser vista como f(x)=3\cdot G\bigl(u(x)\bigr).

Passo 4

Aplicar a regra do múltiplo constante imediatamente:
\frac{d}{dx}\Bigl(3\cdot \bigl(u(x)\bigr)^{4}\Bigr)=3\cdot \frac{d}{dx}\Bigl(\bigl(u(x)\bigr)^{4}\Bigr).
Ou seja, a constante 3 sai como fator ao derivar.

Passo 5

Agora aplicar a regra da cadeia à derivada de \bigl(u(x)\bigr)^{4}. Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\Bigl(\bigl(u(x)\bigr)^{4}\Bigr)=4\bigl(u(x)\bigr)^{3}\cdot u'(x).
Aqui n=4, \bigl(u(x)\bigr)^{3} é a potência reduzida em uma unidade, e multiplica-se pela derivada da função interna u'(x).

Passo 6

Reunindo Passo 4 e Passo 5, obtemos:
f'(x)=3\cdot\biggl(4\bigl(u(x)\bigr)^{3}\cdot u'(x)\biggr).
Substituindo u(x)=x^{3}-x teremos em seguida.

Passo 7

Calcular u'(x) com a regra da soma e power rule. Para u(x)=x^{3}-x:
  • derivada de x^{3} é 3x^{2} (porque \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}),
  • derivada de -x é -1.
    Portanto u'(x)=3x^{2}-1.

Passo 8

Substituir u(x) e u'(x) na expressão de f'(x):
f'(x)=3\cdot\Bigl(4\bigl(x^{3}-x\bigr)^{3}\cdot\bigl(3x^{2}-1\bigr)\Bigr).

Passo 9

Agrupar os fatores constantes 3 e 4:
f'(x)=12\bigl(x^{3}-x\bigr)^{3}\bigl(3x^{2}-1\bigr).
Expliquei que multipliquei 3\cdot 4=12 e mantive os fatores que dependem de x.

Passo 10

Uma forma equivalente e às vezes útil é multiplicar 12 pelo polinômio (3x^{2}-1):
12\bigl(3x^{2}-1\bigr)=36x^{2}-12,
logo outra escrita é
f'(x)=\bigl(36x^{2}-12\bigr)\bigl(x^{3}-x\bigr)^{3}.

Passo 11

Explicar porque fica assim (intuição): a derivada “puxa para fora” o expoente 4 como fator, reduz o expoente para 3 na cópia da função interna, e ainda multiplica pela derivada da interna 3x^{2}-1. A constante 3 que estava multiplicando fica multiplicando tudo.

Passo 12

Mostrar a versão fatorada do fator interno, que pode ajudar em interpretação de zeros:
x^{3}-x=x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1),
portanto
\bigl(x^{3}-x\bigr)^{3}=x^{3}(x-1)^{3}(x+1)^{3}.
Isso é útil se, por exemplo, quiseres estudar sinais ou zeros de f'(x).

Passo 13

Listar as duas formas finais equivalentes (uma factorizada, outra expandida no polinômio):
  • Forma bastante usada em provas:
f'(x)=12\bigl(3x^{2}-1\bigr)\bigl(x^{3}-x\bigr)^{3}.
  • Forma com o polinômio multiplicado:
f'(x)=\bigl(36x^{2}-12\bigr)\bigl(x^{3}-x\bigr)^{3}.

Passo 14

Um pequeno exemplo análogo para fixar: se g(x)=2\bigl(x^{2}-1\bigr)^{5}, por analogia a derivada seria
g'(x)=2\cdot 5\bigl(x^{2}-1\bigr)^{4}\cdot 2x=20x\bigl(x^{2}-1\bigr)^{4},
mesmo padrão: constante externa \times expoente \times interna elevada a n-1 \times derivada da interna.

Passo 15

Dicas rápidas para prova (passo-a-passo que dá certo):
  1. Identifica a constante multiplicativa e puxa ela para fora.
  2. Identifica a função interna u(x) e a externa u^{n}.
  3. Aplica a regra da cadeia: traz o expoente como fator e reduz o expoente em 1.
  4. Calcula u'(x) separadamente (deriva termo a termo).
  5. Multiplica tudo e simplifica constantes.

Passo 16

Verificação numérica rápida para conferir sem erro de sinais: escolher x=0. Calcula-se f'(0) pela fórmula:
  • \bigl(x^{3}-x\bigr)^{3} em x=0 é (0-0)^{3}=0.
  • Logo f'(0)=0. Isso bate com a forma fatorada acima que tem o fator (x^{3}-x)^{3}, então x=0 anula f'. Útil como checagem rápida.

Passo 17

Resumo final do raciocínio: usamos regra do múltiplo constante + regra da cadeia + derivada da função interna polinomial. Multiplicamos constantes e simplificamos para obter a forma final. Se estiver nervoso na prova, segue a sequência das Dicas do Passo 15.

Passo 18

Última observação prática: na maioria das provas vale apresentar a forma mais clara e reduzida (ex.: fator comum 12 exposto), então a forma f'(x)=12(3x^{2}-1)(x^{3}-x)^{3} é excelente — curta, correta e mostra bem de onde veio cada fator.

Resposta

f'(x)=12\bigl(3x^{2}-1\bigr)\bigl(x^{3}-x\bigr)^{3}

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