Determine a derivada da função f, só os pares (2 ao 18), utilizando as regras de derivação.
f(t)=\left(3 t^{2}-2 t+1\right)^{3 / 2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dada a função f(t)=\left(3 t^{2}-2 t+1\right)^{3/2},
o que se pede é a derivada f'(t).

Passo 2

Que regra vamos usar e por que.
  • Aqui temos uma potência composta: uma função externa u^{3/2} aplicada a uma função interna u(t)=3t^{2}-2t+1.
  • A regra correta é a regra da cadeia: se \;f(t)=F(u(t))\; então \;f'(t)=F'(u(t))\cdot u'(t)\;.
  • Vou também usar a regra da potência: se F(u)=u^{n} então F'(u)=n\,u^{n-1}.

Passo 3

Aplicando a regra da potência à função externa.
  • Tome u=3t^{2}-2t+1 e F(u)=u^{3/2}. Pela regra da potência,
F'(u)=\frac{3}{2}\,u^{\frac{1}{2}}.
  • Aqui \frac{3}{2} é o expoente original, e u^{\frac{1}{2}} vem de diminuir o expoente em uma unidade: \tfrac{3}{2}-1=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Derivando a função interna u(t).
  • A função interna é
u(t)=3t^{2}-2t+1.
  • Derivando termo a termo (regra da soma e derivada de potência):
u'(t)=\frac{d}{dt}(3t^{2})-\frac{d}{dt}(2t)+\frac{d}{dt}(1)=3\cdot 2t-2+0=6t-2.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia juntando as duas derivadas.
  • Pela regra da cadeia:
f'(t)=F'(u(t))\cdot u'(t)=\frac{3}{2}\,u(t)^{\frac{1}{2}}\cdot(6t-2).
  • Substituindo u(t)=3t^{2}-2t+1:
f'(t)=\frac{3}{2}\left(3t^{2}-2t+1\right)^{\frac{1}{2}}(6t-2).

Passo 6

Simplificando a constante multiplicativa.
  • Multiplique \frac{3}{2} por (6t-2):
\frac{3}{2}\,(6t-2)=\frac{3(6t-2)}{2}=\frac{18t-6}{2}=9t-3.
  • Assim a expressão fica mais enxuta:
f'(t)=(9t-3)\left(3t^{2}-2t+1\right)^{\frac{1}{2}}.

Passo 7

Fatorando para um formato ainda mais simples e interpretável.
  • Podemos fatorar 9t-3 por 3:
9t-3=3(3t-1).
  • Então outra forma conveniente da derivada é
f'(t)=3(3t-1)\left(3t^{2}-2t+1\right)^{\frac{1}{2}}.

Passo 8

Interpretando o resultado e escrevendo com raiz para leitura rápida.
  • Como u^{1/2}=\sqrt{u}, uma forma fácil de lembrar e apresentar é
f'(t)=3(3t-1)\sqrt{3t^{2}-2t+1}.
  • Essa é a mesma expressão que obtivemos antes, só com a notação de raiz quadrada.

Passo 9

Resumo prático (como fazer rápido na prova).
  • Passos rápidos em prova:
    1. Identificar u(t) (a parte dentro do parêntese).
    2. Aplicar potência: multiplicar pelo expoente \tfrac{3}{2} e reduzir o expoente em 1.
    3. Multiplicar pelo u'(t) (derivada da parte dentro).
    4. Simplificar constantes e, se possível, fatorar para ficar mais limpo.

Passo 10

Um exemplo rápido análogo para treinar (sem detalhar): se g(x)=(ax^{2}+bx+c)^{n} então
g'(x)=n(ax^{2}+bx+c)^{n-1}\cdot(2ax+b),
mesma ideia que usamos aqui.

Passo 11

Sobre domínio e sinais (nota rápida para não ficar inseguro na prova).
  • Como usamos a potência \tfrac{1}{2}, estamos a tomar a raiz quadrada principal de 3t^{2}-2t+1. Para derivada simbólica isso vale para todos t em que a expressão interna seja definida (aqui o polinômio é sempre definido e positivo para todos os t, então sem problema).

Passo 12

Verificação final: as formas equivalentes obtidas são consistentes.
  • Três formas equivalentes que podemos usar como resposta final:
    1. \displaystyle f'(t)=\frac{3}{2}\left(3t^{2}-2t+1\right)^{\frac{1}{2}}(6t-2),
    2. \displaystyle f'(t)=(9t-3)\left(3t^{2}-2t+1\right)^{\frac{1}{2}},
    3. \displaystyle f'(t)=3(3t-1)\sqrt{3t^{2}-2t+1}.

Resposta

f'(t)=3(3t-1)\sqrt{3t^{2}-2t+1}

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