Determine a derivada da função
, só os pares (2 ao 18), utilizando as regras de derivação.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dada a função
o que se pede é a derivada
.
Passo 2
Que regra vamos usar e por que.
- Aqui temos uma potência composta: uma função externa
aplicada a uma função interna . - A regra correta é a regra da cadeia: se
então . - Vou também usar a regra da potência: se
então .
Passo 3
Aplicando a regra da potência à função externa.
- Tome
e . Pela regra da potência,
- Aqui
é o expoente original, e vem de diminuir o expoente em uma unidade: .
Passo 4
Derivando a função interna
.
- A função interna é
- Derivando termo a termo (regra da soma e derivada de potência):
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia juntando as duas derivadas.
- Pela regra da cadeia:
- Substituindo
:
Passo 6
Simplificando a constante multiplicativa.
- Multiplique
por :
- Assim a expressão fica mais enxuta:
Passo 7
Fatorando para um formato ainda mais simples e interpretável.
- Podemos fatorar
por :
- Então outra forma conveniente da derivada é
Passo 8
Interpretando o resultado e escrevendo com raiz para leitura rápida.
- Como
, uma forma fácil de lembrar e apresentar é
- Essa é a mesma expressão que obtivemos antes, só com a notação de raiz quadrada.
Passo 9
Resumo prático (como fazer rápido na prova).
- Passos rápidos em prova:
- Identificar
(a parte dentro do parêntese). - Aplicar potência: multiplicar pelo expoente
e reduzir o expoente em 1. - Multiplicar pelo
(derivada da parte dentro). - Simplificar constantes e, se possível, fatorar para ficar mais limpo.
- Identificar
Passo 10
Um exemplo rápido análogo para treinar (sem detalhar): se
então
mesma ideia que usamos aqui.
Passo 11
Sobre domínio e sinais (nota rápida para não ficar inseguro na prova).
- Como usamos a potência
, estamos a tomar a raiz quadrada principal de . Para derivada simbólica isso vale para todos em que a expressão interna seja definida (aqui o polinômio é sempre definido e positivo para todos os , então sem problema).
Passo 12
Verificação final: as formas equivalentes obtidas são consistentes.
- Três formas equivalentes que podemos usar como resposta final:
-
, -
, -
-